graph einer Funktion 3. Grades

Question

der Graph einer ganzrationalen Funktion 3. Grades hat einen extrempunkt E(-2/0) und einen Wendepunkt W(-1/-2).

a3 , a2 und a1 sind berechnet

a3= 1

a2=3

a1=0

Wie berechne ich a0?

Answer 1

wenn bei f(x) = x³ + 3x² + a₀    nur noch  a₀ unbekannt ist, musst du nur

noch von E oder W  die Koordinaten einsetzen.

→  a₀ = -4

Gruß Wolfgang

Answer 2

Auch bei den Moderatoren werden Schmuddeltricks immer beliebter. Keines Falls werde ich mich auf 4 Unbekannte einlassen. Wo du nur Fragensiehst, sehe ich zwei Grund verschiedene Alternativen - wollen mal sehen.
   Diktat für Schmierzettel und Regelheft.

   " Jedes kubistische Polynom verläuft Punkt symmetrisch gegen seinen WP. "

   Damit gewinnst du aber eine verborgene Info, die von dem Aufgabensteller her gar nicht beabsichtigt war. Aus dieser Spiegelsymmetrie folgt nämlich die Mittelwertbeziehung



     (  x  |  y  )  (  w  )  =  1/2  [  (  x  |  y  )  (  max  )  +  (  x  |  y  )  (  min  )  ]      (  1a  )



    In deinem Falle folgt aus ( 1a ) : E ist das Maximum ; und das Minimum liegt bei



      
        (  x  |  y  )  (  min  ) =  (  0  |  -  4  )     (  1b  )


     Damit habe ich aber schon BEIDE Nullstellen der ersten Ableitung beisammen.



     f  '  (  x  )  =  k  x  (  x  +  2  )  =  k  (  x  ²  +  2  x  )      (  2a  )


    Alles, was jetzt noch zu tun bleibt: Aufleiten, ===> Stammfunktion



     f  (  x  )  =  k  (  1/3  x  ³  +  x  ²  )  +  C     (  2b  )


      wobei das Aufleiten immer eine zusätzliche Unbekannte einschleppt, die ===> Integrationskonstante C . Die beiden Unbekannten k und C haben durchaus anschauliche Bedeutung; ===> Leitkoeffizient und Offset.
    Der Punkt ( 1b ) , das Minimum , war ja gar nicht vorgesehen. Wir finden sofort C = ( - 4 )
       Für  k würde ich W vorschlagen.



            k  (  -  1/3  +  1  )  -  4  =  (  -  2  )      (  3a  )

           2/3  k  -  4  =  (  -  2  )    |   :  2     (  3b  )


      Schritt ( 3b ) bringe ich deshalb so ausführlich. Bei mir würds ja Strafpunkte hageln ohne Ende. Nicht nur Brüche; auch gleichungen sind zu kürzen. Kürzen ist wichtiger als zusammen Fassen.



       1/3  k  -  2  =  (  -  1  )  ===>  k  =  3      (  4a  )

        f  (  x  )  =  x  ³  +  3  x  ²  -  4     (  4b  )



    So Leute; das war " Bottom up " Schließen von der Ableitung auf die gesuchte Funktion. Jetzt kommt Top down. Das Extremum E ist immer eine Nullstelle von gerader , hier also zweiter Ordnung:



     f  (  x  )  :=  k  (  x  +  2  )  ²  (  x  -  x3  )    (  5a  )


    Ich schicke jetzt erst mal ab, damit er mir die Datei nicht zerstört wie gestern. Dann schicke ich eben noch Metode Nr. 2 als ergänzenden Kommentar.

Comments

f  (  x  )  :=  k  (  x  +  2  )  ²  (  x  -  x3  )        (  2.1a  )

F  (  x  )  :=  (  x  +  2  )  ²  (  x  -  x3  )        (  2.1b  )  

( 2.1b ) ist die Normalform von ( 2.1a ) ; die Koeffizienten von ( 2.1b ) folgen übrigens aus dem Satz von Vieta.

a2  =  -  (  x1  +  x2  +  x3  )  =  4  -  x3     (  2.2a  )

Und jetzt kommt ein ganz wichtiger Punkt, der in Formelsammlung und Schmierzettel gehört.  ( Eure Lehrer kennen das alles gar nicht. ) Für den WP braucht ihr gar keine 2. Ableitung; der erweist sich als Abfallprodukt von Vieta. Ihr nemt den Koeffizienten a2 der Normalform her in ( 2.2a )

x  (  w  )  =  -  1/3  a2  =  1/3  x3  -  4/3  =  (  -  1  )  ===>  x3  =  1     (  2.2b  )

f  (  x  )  =  k   (  x  +  2  )  ²  (  x  -  1  )        (  2.3  )

Um k zu bestimmen, setze das Minimum ( 1.1b ) ein entsprechend x = 0 ===> k = 1 . 

( 2.3 ) wird aufgelöst mit dem Satz von Vieta.

a2  -  3  x  (  w  )  =  3            (  2.4a  )

a0  =  -  x1  x2  x3  =  (  -  4  )              (  2.4b  )

a1  =  (  x1  +  x2  )  x3  +  x1  x2  =  0             (  2.4c  )

Vgl. ( 1.4b )