Komplexe Zahlen: 1) Zeigen Sie z^2 = |z/|^2==> z∈ℝ 2) Komplexe Zahl ζ≠ 1 an, für die ζ^k= ζ^{k+9} für alle k ∈ℤ gilt.

Question

könnte mir jemand bei diesen Aufgaben helfen ? ! 

1) Zeigen Sie z² = |z/|^2.  ==>    z∈ℝ

2) Geben Sie eine komplexere Zahl ζ≠ 1 an, für die ζ^k= ζ^k+9  für alle k ∈ℤ gilt. 

Comments

Könntest du das Bild bitte drehen?

oder die paar Zeilen eintippen

---

1) z² = |z/|^2.     z∈ℝ

2) Geben Sie eine komplexere Zahl ζ≠ 1 an, für die ζ^k= ζ^k+9  für alle k ∈ℤ gilt. 

---

Das Foto lässt sich leider nicht drehen ! Tut mir Leid. 

---

$$\zeta=-\frac12+\frac i2\sqrt3.$$

Answer 1

1) Zeigen Sie z^2 = |z/|^2 ==> im(z) = 0

z = a + ib

|z| = √(a^2 + b^2), |z|^2 = a^2 + b^2

z^2 = (a + ib)(a+ib) = a^2 + 2abi - b^2 = a^2 - b^2 + 2abi 

Imaginärteile gleich.

2abi = 0 ==> a oder b muss 0 sein. 

1. Fall b = 0   q.e.d. (in Ordnung)

2. Fall a = 0

Zusätzlich gilt: Realteile sind gleich.

a^2 + b^2 = a^2 - b^2  | Wir haben ja a=0.

b^2 = - b^2

2b^2 = 0

==> b= 0

Auch in diesem Fall muss also z reell sein. q.e.d. 

 2) Komplexe Zahl ζ≠ 1 an, für die ζ^k= ζ^{k+9}  für alle k ∈ℤ gilt.

Vgl. Kommentar von Gast. Kannst du ja mal nachrechnen.