Komplexe Zahlen: 1) Zeigen Sie z2 = |z/|2==> z∈ℝ 2) Komplexe Zahl ζ≠ 1 an, für die ζk= ζk+9 für alle k ∈ℤ gilt.

Question

könnte mir jemand bei diesen Aufgaben helfen ? !

1) Zeigen Sie z² = |z/|².  ==>    z∈ℝ

2) Geben Sie eine komplexere Zahl ζ≠ 1 an, für die ζ^k= ζ^k+9  für alle k ∈ℤ gilt. 

Comments

Könntest du das Bild bitte drehen?

oder die paar Zeilen eintippen

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1) z² = |z/|².     z∈ℝ

2) Geben Sie eine komplexere Zahl ζ≠ 1 an, für die ζ^k= ζ^k+9  für alle k ∈ℤ gilt.

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Das Foto lässt sich leider nicht drehen ! Tut mir Leid.

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$$\zeta=-\frac12+\frac i2\sqrt3.$$

Answer 1

1) Zeigen Sie z² = |z/|² ==> im(z) = 0

z = a + ib

|z| = √(a² + b²), |z|² = a² + b²

z² = (a + ib)(a+ib) = a² + 2abi - b² = a² - b² + 2abi

Imaginärteile gleich.

2abi = 0 ==> a oder b muss 0 sein.

1. Fall b = 0   q.e.d. (in Ordnung)

2. Fall a = 0

Zusätzlich gilt: Realteile sind gleich.

a² + b² = a² - b²  | Wir haben ja a=0.

b² = - b²

2b² = 0

==> b= 0

Auch in diesem Fall muss also z reell sein. q.e.d.

2) Komplexe Zahl ζ≠ 1 an, für die ζ^k= ζ^k+9  für alle k ∈ℤ gilt.

Vgl. Kommentar von Gast. Kannst du ja mal nachrechnen.