Taylorpolynom 2. Grades und Restgliedabschätzung

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion $$ f ( x ) = \ln \left( \frac { x } { 2 } \right) - \frac { 4 } { x } \qquad x > 0 $$

Ermitteln Sie das Taylorpolynom zweiten Grades T_{2} der Funktion f, entwickelt an der Stelle a) x_{0} = 2.

b) Wie stark weicht das Taylorpolynom von T_{2} von der Funktion f an der Stelle x = e maximal ab? (Hinweis: Restschätzung)

c) Geben Sie die tatsächliche Abweichung des Taylorpolynoms von f an der Stelle x = e an.

Ich komme hier auf folgende Ergebnisse:

a) T2(x) = -(3/2)x^2+8x

b) R2(e)= 0,0170

c) Wirkliche Abweichung = 11,8274

Das Ergebnis von c) ist ziemlich unlogisch meines Erachtens. Über jemanden der das mal durchrechnen könnte würde ich mich freuen.

Answer 1

Ich komme auf

T2(x) = f(2) + f ' (2) * (x-2) + f ' ' (2) / 2 * ( x-2) ^2

= -2   + 3/2 * (x-2) - 5/8 * ( x-2)^2 = -5/8 x^2 + 4x - 15/2

Answer 2

Ich kann bereits Dein Taylorpolynom nicht ganz nachvollziehen. Ich habe dort

T2(x) = f(2) + f'(2)/1!·(x - 2) + f''(2)/2!·(x - 2)^2

T2(x) = - 2 + 3/2·(x - 2) - 5/8·(x - 2)^2

R2(x) = (2/x^3 + 24/x^4)/6·(x - 2)^3

Comments

Vielen Dank, habe mein Fehler beim Taylerpolynom gefunden!

Bei der Restgliedabschätzung komme ich dann auf R2(e)= 0,0127689

Habe ich das dann Richtig gerechnet (habe hier mit deiner angegebenen Formel gerechnet!)?

Wir haben das mit der Restgliedabschätzung um einiges komplizierter gelernt (anbei mal ein Auszuf aus unserer Formelsammlung)!

Luke-

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Kannst du nochmal die Rechnung zum Restglied machen. Ich hätte wie folgt gerechnet

(2/2^3 + 24/2^4)/6·(3 - 2)^3 = 7/3 = 0.2917

Die Definition deines Restglieds ist besser.

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Aber man muss doch für x hier e einsetzen wie in der Aufgabe beschrieben oder nicht ?

Man sollte ja die Abweichung an der Stelle x=e bestimmen und nicht an x₀=2.

Kläre mich bitte auf wenn ich da im Grundsatz etwas falsch verstanden habe.

Luke-

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Du musst in f(x) eigentlich den Wert aus dem Intervall einsetzen bei dem du die höchste Abweichung hast. in (x - 2)^3 muss ich eigentlich e einsetzen. Aber auch da kann ich ja 3 als Näherung einsetzen.

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Anbei nochmals ein Bild wie ich das Ganze gerechnet habe. Kannst du mir sagen wo mein Fehler liegt, bitte ?

Viele Dank im Voraus!

P.s. Annähern dürfen wir hier leider nicht!

Und entschuldige bitte die Unordnung auf dem Blatt, wenn ich Mathe lerne ist das immer Chaos pur auf dem Blatt, da ich alles mögliche ausprobiere und dann kommt sowas raus!

Luke