Reelle Lösungsmenge für |3x-2|-|2-4x2|>0

Question

|3x-2|-|2-4x²|>0      -> Bestimmung der reellen LösungsmengeWie kann ich für den 2. Betrag die Fallunterscheidung machen?

Answer 1

Hier meine Berechnungen für

| 3x-2 | - | -2-4x² | > 0    

-3/4 < x < 0



Falls der 2.Ausdruck
| 2-4x² | geheißen hätte hättest du für den Fall

2 - 4x^2 = 0

x = √ (1/2)
und
x  = - √ (1/2)

diese 3 Fälle durchspielen müssen

    1             2                3
-------|---------------|-----------
- √ (1/2)            √ (1/2)

1.) x < - √ (1/2)
2.) - √ (1/2) < x <  √ (1/2)
3.) x > √ (1/2)

Answer 2

ABS(3·x - 2) - ABS(2 - 4·x^2) > 0

Mache notfalls 4. Fallunterscheidenungen

1. Fall x <= - √2/2

2. Fall - √2/2 <= x <= √2/2

3. Fall √2/2 <= x <= 2/3

4. Fall x >= 2/3

Comments

Ich habe als Lösung

√73/8 - 3/8 < x < 3/4 oder - √73/8 - 3/8 < x < 0

0.6930004681 < x < 0.75 ∨ -1.443000468 < x < 0

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Danke für die schnelle Antwort! Ich habe mich leider vertippt: die Aufgabe lautet ABS(3·x - 2) - ABS(-2 - 4·x²) > 0. Sorry!!! Bei der Fallunterscheidung für ABS(-2-4x²) komme ich nicht weiter, da dafür keine Nullstellen existieren. Meine Idee: Ist es einfach so dass das Ergebnis innerhalb des Betrages immer kleiner gleich 2 ist und ich dementsprechend den Term durch -(-2-4x²) ersetzen kann?

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Wenn du keine Nullstellen für einen Ausdruck hast dann brauchst du auch keine Fallunterscheidung

ABS(-2 - 4·x²) = -(-2 - 4x^2) = 4x^2 + 2

So einfach ist das.

Du vereinfachst dir die aufgabe dadurch nur ziemlich,

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Okay, das ist gut zu wissen! Danke für deine Hilfe!!!

Answer 3

Eine Fallunterscheidung ist in keinem der Fälle notwendig.$$\quad\vert 3x-2\vert-\vert-2-4x^2\vert>0$$$$\Leftrightarrow(3x-2)^2>(4x^2+2)^2$$$$\Leftrightarrow0>(4x+3)(4x^2-3x+4)x$$$$\Leftrightarrow0>(4x+3)x.$$

Comments

Du hast zwar sehr wenig Lösungsschritte  angegben aber so
einfach wie das ausschaut ist es aber nicht.

Wie der Normalmathematiker von Zeile 2 auf Zeile 3 kommt weis ich
nicht. Ebenso von Zeile 3 auf Zeile 4.

Dann ist noch keine Lösung angegeben. Es ist noch zu untersuchen
1.Fall x > 0 und
4x + 3 < 0
x < -3/4
keine Schnittmenge

2.Fall
x < 0 und
4x + 3 > 0
x > -3/4
Insgesamt :  -3/4 < x < 0

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Eine Lösung \(x\in\mathbb R\) der Ungleichung und \(4x+3\) haben offensichlich entgegengesetzte Vorzeichen, was \(x<0\) und damit \(4x+3>0\) impliziert.
Wie man leich nachrechnet ist \(4x^2-3x+4>\left(2x-\frac34\right)^{\!2}\ge0\) für alle \(x\in\mathbb R\). Die Division durch \(4x^2-3x+4\) stellt somit eine Äquivalenzumformung dar.