Ableitung im Sinne von Distributionen

Question

Die Aufgabe, die mir Probleme bereitet, ist eigentlich ganz kurz, aber ich weiß trotzdem nicht, was ich damit machen soll:

"Berechne die ersten drei Ableitungen im Sinne von Distributionen der Funktion f(x) = |x| cos(x)."

Lg, Allice

Comments

Zum Einstieg kann ich $$|x|'=2H(x)-1$$ und $$|x|''=2\delta(x)$$ anbieten.

Answer 1

Wir bezeichnen \(f\) im distributionellen Sinne als \(T_f\), d.h.

$$ T_f (\varphi) := \int_{\mathbb{R}} f(x)\varphi(x)\,dx $$

für Testfunktionen \(\varphi\).

Jetzt definiert man \( T_f'(\varphi):=-T_f(\varphi') \).

Damit solltest du es ausrechnen können. Diese Definition der Ableitung einer Distribution wird dadurch motiviert, dass man unter Anwendung partieller Integration für Testfunktionen \( \varphi\) folgendes erhält:

$$ \int_{\mathbb{R}} f'(x)\varphi(x) \, dx = - \int_{\mathbb{R}} f(x)\varphi'(x) \, dx$$

Comments

Danke für die schnelle Antwort!

Die Definition kenne ich, ich weiß aber leider immer noch nicht, was ich damit machen soll. Was ist denn meine Testfunktion? Und wie kann ich die ableiten... damit ich dann auf das Integral mit f(x) komme...???

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Testfunktionen sind unendlich oft stetig differenzierbare Funktionen mit kompaktem Träger. Distributionen sind Funktionale und kriegen als Argument eine Testfunktion übergeben. So wie bei \(f(x)\) das \(x\) die Variable ist, ist dies bei Distributionen \(\varphi\), du musst allgemein rechnen ohne konkretes \(\varphi\). Kleines Beispiel:

Ableitung von \(g(x)=|x|\) im distributionellen Sinne:

$$ T_g'(\varphi)=-\int_{\mathbb{R}} |x| \varphi'(x) \, dx = -\left( \int_{0}^\infty x\varphi'(x)\, dx + \int_{-\infty}^{0} -x\varphi'(x) \, dx\right) = \int_0^\infty 1\cdot\varphi(x) \, dx + \int_{-\infty}^0 (-1)\cdot \varphi(x) \, dx = \int_{\mathbb{R}} g'(x)\varphi(x) \, dx $$

mit

$$ g'(x)=\begin{cases} 1, & x>0 \\ c, & x=0\\ -1 & x < 0  \end{cases} $$

wobei \(c\in\mathbb{R} \) beliebig gewählt werden kann.

Hier ist jetzt also \(g'\) die Ableitung von \(g\) im distributionellen Sinne, denn es gilt \(T_g'=T_{g'}\).