Beweisen dass es sich um Untervektorräume handelt

Question

Nun soll ich zeigen dass S und T Unterverktorräume von K^pxp sind.
Wenn ich es richtig verstanden habe muss ich folgende 3 Bedingungen beweisen damit dies Untervektorräume von K^pxp sind:

- S und T sind nich leer

- S und T abgeschlossen bzgl +

- S und T abgeschlossen bzgl *

Ich weiß leider nicht genau wie ich das anstellen soll. Wie soll ich dies angehen?
Hoffe ihr könnt mir helefen.

Answer 1

Beispiel: S ist abgeschlossen bezüglich Addition.

Seien A = (a_ij)_{i,j∈{1...p}} und B = (b_ij)_{i,j∈{1...p}} aus S. Ferner sei A+B = C = (c_ij)_{i,j∈{1...p}}.

Dann ist c_mn=a_mn+b_mn und c_nm=a_nm+b_nm für m,n∈{1...p} aufgrund der Definition der Matrixaddition.

Wegen A = A^T und B = B^T ist a_mn= a_nm und b_mn=b_nm. Also ist auch c_mn=c_nm, und somit C = C^T.

Comments

dies zeigt also dass S abgeschlossen bzgl Addition ist?

---

um zu zeigen dass S dann abgeschlossen bzgl multiplikation, das geht dann io fast gleich oder?

---

Ja, abgeschlossen bzgl multiplikation geht dann io fast gleich. und T geht auch fast gleich.