Bestimme relative und absolute Extrema

Question

Ich habe eine Aufgabe vorliegen wo ich unter anderem die Extreme (siehe Überschrift) bestimmen muss.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=x^3%2F%28%28x-1%29^2

Die Funktion hat schließlich ein lokales minimum bei x=3

Ich verstehe das so, es ist kein absolutes minimum weil es Funktionswerte gibt die sich noch weiter unten befindnen.

Wie kann ich das aber sehen wenn ich die Funktion nicht vor augen habe=?

Mit anderen Worten, woher sollte ich wissen ob dieses einzige Extremum lokal oder absolut ist?

Wie könnte ich das einfach feststellen?

Answer 1

zum Beispiel durch betrachten der Grenzwerte für x gegen ± ∞.

Answer 2

Wie kann ich das aber sehen wenn ich die Funktion nicht vor augen habe=?

Mit anderen Worten, woher sollte ich wissen ob dieses einzige Extremum
lokal oder absolut ist? Wie könnte ich das einfach feststellen?

So einfach feststellen kann man das nicht. Es ist schon eine kleine
Kurvendiskussion  vonnöten.


Die Funktion hat eine Polstelle und damit den Def-Bereich
D = ℝ \ { 1 }

Zunächst wurde die 1.Ableitung gebildet und die Stellen
mit waagerechter Tangente berechnet.

( 0 | 0 )
( 3 | 27 / 24 )

Jetzt müßte eine händische Berechnung der 2.Ableitung erfolgen. Dazu bin ich
zu faul. Mein Matheprogramm sagt :

( 0 | 0 )  Sattelpunkt
( 3 | 27 / 24 )  Tiefpunkt

Verhalten der Funktion an den Rändern des Def-Bereichs bestimmen.
-∞ , 1(--) , 1(+), ∞
Es ergibt sich.
lim x −> -∞ = - ∞
lim x −> 1(-) =  + ∞
lim x −> 1(+) =  + ∞
lim x −> ∞ =  + ∞

Globales Minimum : minus unendlich
Globales Maximum : plus unendlich
lokales Minimum  : ( 3 | 27 / 24 )

Answer 3

  Lass mal Pappi ran; der erklärt dir, wie man eine richtige Kurvendiskussion macht. Wir haben hier eine gebrochen rationale Funktion ( GRF ) viel wichtiger als Ableiten ist hier eine Grobskizze, welche die kritischen Punkte schon mal eingrenzt. Manche werden wissen, wie man GRF aufleitet - nämlich durch Polynomdivision ( PD ) + Teilbruchzerlegung ( TZ ) ( PDTZ ) Dass man sie genau so ableiten könnte, kam erst mir in den Sinn. Im Übrigen erweist sich deine Funktion als ideal für meine Schmuddeltricks; mit treu doofen 0815 Metoden kommst du da auf keinen grünen Zweig.
   Die TZ ist eindeutig; deshalb ist jeder Trick zulässig, sie sich zu beschaffen. Es spricht sich langsam herum, dass du hier über das " Zuhälter"-bzw." Abdeckerverfahren " gehen - müsstest. Genau das werden wir nämlich nicht tun; aus Feigheit vor dem Feind umgehen wir die feindliche Stellung durch eine Substitution ( Ferner fordert ja die Guideline; halte deine Antwort so einfach wie möglich ===> mach sie so tricky wie möglich. )




            z  :=  x  -  1      (  1a  )

            x   =  z  + 1      (  1b  )

         f  (  x  )  :=  x  ³ /  (  x  -  1  )  ²            (  2a  )

         f  (  z  )   =  z  +  3  +  3 / z  +  1 / z  ²       (  2b  )



     In Darstellung ( 2b ) siehst du schon Einiges. Grundregel; bei einer GRF kommst du asymptotisch immer von Rechts. Da kannst du dich mit den Vorzeichen nie vertun.
   Asymptote ist eine ( Parallele zu ) der ( ansteigenden ) Winkel Halbierenden ( WH ) Du hast Recht; der Graf kann kein absolutes Maximum besitzen, weil er ja von ( + °° ) kommt. Das Residuum ( +1 ) hat positives Vorzeichen; an der Polstelle z = 0 haut die Kurve abermals ab nach ( + °° ) Beide Randbedingungen zusammen erzwingen ein Minimum für x > 0 .
   Die Polstelle ist von gerader Ordnung; die Funktion kommt auch wieder von ( + °° )  Dann , siehe ( 1a;2a ) überquert sie die Abszisse, um asymptotisch wieder auf die WH einzuschwenken.
   Nein so überraschend das klingen mag. Die Ableitung bilden wir jetzt nicht mit ( 2b ) . die Ableitung böte zwar formal keinerlei Schwierigkeiten.  Doch was ein Umstand; du hättest eine kubistische Gleichung zu lösen um den Preis, dass dir die cartesische Vorzeichenregel genau jenes eine erwartete Minimum vorher sagt. Die beiden anderen wurzeln sind dann offenbar komplex.
   Vermindern wir doch die Rechenstufe; hier empfiehlt sich ===> logaritmisches Differenzieren, eine Sonderform des ===> impliziten Differenzierens. Direkt aus ( 2a )




      ln  (  y  )  =  3  ln  (  x  )  -  2  ln  (  x  -  1  )        (  3a  )

       y  '  /  y  =  0  =  3 / x  -  2 / (  x  -  1  )  ===>  x  (  min  )  =  3        (  3b  )

Comments

okay.......................