Ableitung H-Methode 2x2-3x

Question

Soll als Einführung zum Ableitungsbegriff folgende Funktion mit der h Methode ableiten:

f(x)=2x²-3x mit x=1

Wenn ich dies mit der entsprechenden Formel "ausrechne" erhalte ich:

$$\frac { f\left( x+h \right) -f\left( x \right) }{ h } =\frac { 2*(\left( 1+h \right) ^ 2)-3(1+h)-(-1) }{ h } =\frac { 2(1+2h+h^ 2)-3-3h+1 }{ h } \\ =\frac { 2+4h+2h^ 2-3-3h+1 }{ h } =\frac { h+2h^ 2 }{ h } \quad$$

Wenn ich nun h gegen 0 streben lasse, würde ja 2 rauskommen - d.h. die Steigung an der Stelle beträgt 2.

Leite ich die Funktion allerdings mit der Ableitungsformel ab und setze 1 ein erhalte ich ja:

f`(x) = 4x-3 --> 4*1-3=1

Demnach sollte die Steigung an der Stelle 1 gleich 1 sein?
Wo ist mein Fehler?

Wäre cool wenn mal einer drüber schauen kann.

Answer 1

m = (f(x + h) - f(x)) / h

m = ((2·(x + h)² - 3·(x + h)) - (2·x² - 3·x)) / h

m = ((2·x² + 4·h·x + 2·h² - 3·x - 3·h) - (2·x² - 3·x)) / h

m = (2·x² + 4·h·x + 2·h² - 3·x - 3·h - 2·x² + 3·x) / h

m = (4·h·x + 2·h² - 3·h) / h

m = 4·x + 2·h - 3

Für den Grenzwert h --> 0

m = 4·x - 3

Answer 2

Wo ist mein Fehler ?

In deiner Rechnung  sind 2 Fehler

- du hast für f ( x ) zu früh x = 1 eingesetzt.
Dann hättest du dies auch bei f ( x + h ) tun sollen.
( Die richtige Vorgehensweise : siehe die Antwort vom mathecoach )

- ( h + 2*h² ) / h darf noch gekürzt werden zu : h ( 1 + 2*h ) / h = 1 + 2h

Wenn ich nun h gegen 0 streben lasse, würde ja 2 rauskommen -
d.h. die Steigung an der Stelle beträgt 2.

lim h −> 0 [ 1 + 2h ] = 1

Die Steigung ist 1.

Comments

Ja das die Steigung 1 ist, war mir klar, daher wusste ich das meine Rechnung falsch war. Mit eurer Hilfe - vielen Dank noch hierfür - habe ich die Aufgabe inzwischen richtig gelöst :)

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So soll es sein.
Dann hat das Forum seinen Zweck erfüllt.
Falls du weitere Fragen hast. Immer nur zu.

mfg Georg