Flugzeugaufgabe, Welchen Abstand haben die Flugzeuge nach 10 Minuten

Question

Die X₁X₂- Ebene beschreibt eine flache Landschaft, in der ein Flugplatz liegt. Ein Flugzeug F₁ hebt am Punkt P (7/4/0) zum Zeitpunkt t=0 ab. Ein Radar erfasst anschließend das Flugzeug im Punkt Q (13/10/3) nach zwei Minuten.

(Alle Längenangaben in km, Zeit t in Minuten nach Beobachtungsbeginn).

a) Bestimme Sie eine Gleichung für die Flugbahn von F₁ (Rechnungsnachweis bzw. Erklärungsnachweis verlangt!). Zwischenergebnis:

$$ x=\quad \overset { 7 }{ \underset { 0 }{ 4 }  } \quad +\quad t\quad \overset { 3 }{ \underset { 1,5 }{ 3 }  } $$

Berechnen Sie die Geschwindigkeit von Flugzeug F₁ in km/h.

Unter welchem Winkel hat das Flugzeug abgehoben?

Welche Koordinaten hat das Flugzeug F_{1 ,} wenn es 27km geflogen ist. Ein Kirchturm hat die Koordinaten K(-2/4/0). Wie nahe kommt das Flugzeug dem Kirchturm?

b) Ein zweites Flugzeug F₂ wird zum Zeitpunkt t=0 beschrieben durch:

$$ x=\quad \overset { 18 }{ \underset { 10 }{ 11 }  } \quad +\quad t\quad \overset { 2 }{ \underset { 1,5}{ 2 }  } $$

Welchen Abstand haben die Flugzeuge nach 10 Minuten?

c) Wie nahe kommen sich die Flugzeuge maximal?

Answer 1

X1 = [7,4,0] + r * [3,3,1.5]

X2 = [18,11,10] + r * [2,2,-0.5]

d = |X1 - X2| = |[r - 11, r - 7, 2·r - 10]| = √(6·r^2 - 76·r + 270)

d(10) = √(6·10^2 - 76·10 + 270) = 10.49 km

d' = (12·r - 76) / (2·√(6·r^2 - 76·r + 270)) = 0 --> r = 19/3 = 6.333 min

d(19/3) = √(6·(19/3)^2 - 76·(19/3) + 270) = 5.416 km