Ich hab ja Verständnis für dich; dir fehlt jede Routine. Gleich die erste Spalte belehrt dich doch, dass der erste Basisvektor ( 1 | 0 | 0 ) schon Eigenvektor zum Eigenwert Eins ist. Wenn du das nicht schnallst, musst du echt noch was tun.
Unsere Matrix hat also Blockform; Spalten Nr. 2 und 3 mischen nur untereinander . Das ist übrigens logisch, denn
H ( 2 ; 1 ) = 0 ===> H ( 1 ; 2 ) = 0 ( 1a )
H ( 3 ; 1 ) = 0 ===> H ( 1 ; 3 ) = 0 ( 1b )
D.h. wann immer sich ein kanonischer Basisvektor Nr. n bereits als Eigenvektor erweist, können die verbleibenden Eigenvektoren KEINE KOMPONENTE mehr in Richtung n haben - eine Folge der " Hermitizität " des Operators, um eine Wortcreation meines hoch verehelichten Mentors " Harry " zu strapazieren. Diese edle Weisheit ist ein Sonderfall obiger Aussage, dass die Eigenvektoren aufeinander senkrecht stehen - denk erst mal selber darüber nach. Wir vergessen daher den Index Nr. 1 ; statt Index Nr. 2 sage ich jetzt 1 . Und Index 3 wird mein neuer Index 2 . Ich gehe jetzt ganz frech her und fasse H nur noch auf als 2 X 2 Matrix; klar, wie ich das meine?
Jetzt sage ich dir lauter Sachen, die man euch verschweigt - die nicht in den Büchern stehen. Was dir noch bekannt sein dürfte: Die Eigenwerte sind die Nullstellen der Säkulardeterminante (SD )
( Ihr sagt immer " charakteristisches Polynom " ; daran kann ich mich als Hobbyastronom ums Ver Recken nicht gewöhnen. Schließlich wurde die SD in der Himmelsmechanik entdeckt; die " Determinante der ===> säkularen ===> Störungen Störungsrechnung )
Das machst du jetzt bitte nicht so kompliziert; Vieta das geschmähte Stiefkind. Wir machen den Ansatz, dass die SD quadratisch sein muss:
x ² - p x + q = 0 ( 2a )
Die Wurzeln von ( 2a ) sollen schließlich E1;2 sein. Was sagt Vieta darüber aus?
p = E1 + E2 = Sp ( H ) = 7 ( 2b )
q = E1 E2 = det ( H ) = 8 ( 2c )
x ² - 7 x + 8 = 0 | MF ( 2d )
E1;2 = 1/2 [ 7 -/+ sqr ( 17 ) ] ( 2e )
Kleine Auffrischung deiner Allgemeinbildung; dein H ist ===> Hessematrix bzw. ===> metrischer Tensor einer ===> homogenen quadratischen form ( HQF ) Rein schon aus der cartesischen Vorzeichenregel von ( 2d ) ( Habt wenigstens ihr Studenten die drauf? ) ergibt sich, dass beide Eigenwerte positiv sein müssen. Aber auch in der eckigen Klammer von ( 2e ) siehst du das ganz elementar, da ja sqr ( 17 ) < sqr ( 49 ) = 7
Jede HQF beschreibt an sich einen Kegelschnitt. Sind beide Eigenwerte positiv, also positiv definit, so liegt eine Ellipse vor. Dabei gibt das Verhältnis der beiden Eigenwerte in ( 2e ) das ( Quadrat des ) Achsenverhältnisses vor; is also bissele kompliziert. Demnch handelt es sich doch um nichts weiter als eine gedrehte Elölipse; ihre beiden Eigenvektoren lassen sich deuten als große und kleine Halbachse. Und selbstverständlich erwarten wir, dass diese beiden Achsen aufeinander senkrecht stehen.
Wir stellen jetztdas LGS auf
3 x + 2 y = 1/2 [ 7 -/+ sqr ( 17 ) ] x ( 3a )
2 x + 4 y = 1/2 [ 7 -/+ sqr ( 17 ) ] y ( 3b )
- ( 1/2 ) [ 1 -/+ sqr ( 17 ) ] x + 2 y = 0 ( 4a )
2 x + ( 1/2 ) [ 1 +/- sqr ( 17 ) ] y ( 4b )
( Gleichungsnummern a bzw. b habe ich beibehalten, damit du dich zu Recht findest, was zusammen gehört. )
Huuch!? Bei linearer Abhängigkeit müssten ( 4ab ) doch kollinear sein. Das sieht aber nicht so aus. Schreiben wir erst mal die Richtungstangense hin, die hier allein intressieren. Zunächst aus ( 4a )
y / x =: m1;2 = - 1/4 [ 1 -/+ sqr ( 17 ) ] ( 5a )
Machen wir erst mal fertig; du solltest doch zeigen, dass die beiden Achsen aufeinander senkrecht stehen.
m1 m2 ! = ( - 1 ) ( 5c )
m1 m2 = 1/16 [ 1 + sqr ( 17 ) ] [ 1 - sqr ( 17 ) ] = 1/16 ( 1 - 17 ) ( 5d ) ; ok
Und jetzt zu der Antwort auf ( 4b )
4
y / x = ------------------------------------ ( 5b )
1 +/- sqr ( 17 )
vielleicht siehst du ja jetzt ein, was sie dir in Kl. 10 " gelernt " haben: nie Wurzeln im Nenner. Wie du die selben weg kriegst, war auch Gegenstand des Matheunterrichts; ansonsten schreib einfach ab, was oben schon steht.
Ich möchte dich aber trotzdem noch mit zwei weiteren Metoden bekannt machen; solltest du noch nie von ===> Paulimatrizen gehört haben, hast du allerdings eine ganz gewaltige Bildungslücke. Zunächst einmal kommt es darauf an, dass du kapierst, was die Grundaussagen der QM sind ===> Matrizenmechanik ( MM ) Ganz ausgezeichnet ist das dargelegt in dem Klassiker von Eugen Fi ck / Darmstadt; hier für dich das Kapitel " Der unitäre Vektorraum "
Die klassische Physik unterscheidet nämlich nicht zwischen dem augenblicklichen physikalischen ZUSTAND eines Systems und der ( abstrakten ) Messgröße ===> Observable . Nicht nur ihr könnt Deutsch mit eurem ewigen " Hochpunkt " statt Maximum; es heißt Messgröße und nicht Observable.
Der Zustand ist immer ein Vektor im ===> Hilbertraum , während die Messgröße stets eine Matrix ist. Die drei Paulimatrizen S1;2;3 entsprechen jeweils der Messgröße " Spinkomponente ( eines Neutrons oder Elektrons ) in x/y bzw. z-Richtung " Zwei Eigenwerte sind denkbar: ( +/- 1 ) für Spin up / down. Näheres auch in der " Bibel " des Nobelpreis verdächtigen Gordon Baym so wie in Rose; " Angular Momentum "
Diese drei Paulimatrizen vertauschen aber nicht miteinander; geht ja gar nicht. Stell dir vor, du hättest alle drei Spinkomponenten gemessen. Nach Pythia und Goras setzen die sich dann doch zusammen zu einer Resultiertenden = Wurzel ( 3 ) in Richtung der Raumdiagonale.
Aber " Spin Wurzel ( 3 ) " gibt es nicht; wir hörten, es gibt nur up oder down.
Die Quantisierungsregeln sind UNVEREINBAR MIT DER EUKLIDISCHEN GEOMETRIE .
Und überhaupt: Ick höre immer Raumdiagonale. Was für eine Richtung sollte die denn haben ???
Wichtig für diese Aufgabe werden die Paulimatrizen deshalb, weil du jede ( reelle ) Hermitesche Matrix als Linearkombination aus S1 , S3 und der Einheitsmatrix 1| zusammen setzen kannst.
Die Einheitsmatrix entspräche der tautologischen Messgröße
" Hat das Teilchen entweder Spin up oder Spin down? "
mit der stets trivialen Antwort Ja .
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