Dimension und Basis von Unterräumen

Question

Hallo

Ich hänge gerade bei einem Beispiel fest und komme da einfach nicht weiter.

Seien U und W folgende Unterräume von ℝ⁴: U := {x = (x1, x2, x3, x4)^T : x1 = x3, x2 = ax4, a ∈ ℝ} und W := x = (x1, x2, x3, x4)^T : x = s(1,1,0,1), s∈ℝ. Geben Sie die Dimensionen von U und W an und jeweils eine Basis.

Ich verstehe leider nicht wie ich die Aufgabe am besten angehen soll deswegen wäre es super wenn mir das jemand langsam vorrechnen kann, so dass ich verstehe was gemacht wird. Ihr würdet mir wirklich helfen!

Lg

Answer 1

Die Elemente von U sehen so aus  ( u, a*v , u , v ) = u*(1 ; 0 ; 1 ; 0 ) + v* ( 0; a ; 0 ; 1 )

also sind  (1 ; 0 ; 1 ; 0 ) , ( 0; a ; 0 ; 1 ) eine Basis, denn sie sind immer lin. unabh.

also dim = 2

Basis von W ist der Vektor hinter dem s, also dim = 1.

Comments

Ok das stimmt mit der Lösung überein aber wie kommst du genau darauf? Ich kann das leider nicht ganz nachvollziehen was du gemacht hast.

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eine Basis ist ein Erzeugendensystem, also eine Menge von Vektoren,

mit deren Linearkombinationen alle Elemente des Vektorraumes dargestellt werden können.

Die Darstellung im ersten Fall ist

( u, a*v , u , v ) = u*(1 ; 0 ; 1 ; 0 ) + v* ( 0; a ; 0 ; 1 )

und dann müssen sie noch lin. unabh. sein.

Im 2. Fall steht es schon da:

Alle Vektoren sind "Linearkombinationen" in dem Fall halt nur Vielfache von dem

einen Vektor. Der bildet also ein Erz.system.

Und da er nicht 0 ist, ist er lin. unabh.

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Vielen vielen dank das hat mir weitergeholfen!