Zeigen, dass Schätzer der eindeutige M-L-Schätzer der Gumbel-Verteilung ist

Question

ich bräuchte Hilfe bei folgender Aufgabe. Wie zeigt man, dass ein Schätzer tatsächlich der M-L-Schätzer zu der gegebenen Verteilung ist?

Aufgabe:

Seien X₁,..,X_n uiv ZV mit Gumbel-Verteilung F_λ(x)=exp(-(e^-x)/λ) , x∈ℝ für einen unbekannten Parameter λ>0
a)Zeige, dass ^λ_n=1/n * ∑e^X_i der eindeutige M-L-Schätzer für λ ist.
b) Ist der M-L-Schätzer aus a) erwartungstreu oder konsistent?
c) berechne Var(^λ_n) und die Fischer Information.

Bei c) habe ich auch Schwierigkeiten-

würde mich über Hilfe freuen.

Danke

Answer 1

Du musst zunächst die Dichte als Ableitung der Verteilung nach x bestimmen.

Da ergibt sich: F'(x)=(1/λ)*exp(-x)*exp(-(e^-x)/λ).Als nächstes bildest du die Likelihood-Funktion als Produkt der Dichtefunktionen:L(λ,X₁,...,X_n)=(1/λⁿ)*exp(- ∑x_i)*exp(-1/λ*(- ∑e^-x_y))Durch den Wechsel zur Log-Likelihood (Logarithmus der obigen Funktion) vereinfacht sich die Funktion stark:logL(λ,X₁,...,X_n)=n*log(1/λ)-(∑x_i)-(1/λ)*(∑e^-x_y)Diese musst du nun nach λ ableiten. Damit ergibt sich:logL'(λ,X₁,...,X_n)=-n/λ+(1/λ²)*(∑e^-x_y)Wenn du dann deinen Schätzer einsetzt erhältst du 0 und hast somit eine Extremstelle. Durch Grenzwertbetrachtung gegen Unendlich der Log-Likelihood erhältst du, dass dein Schätzer ein Maximum ist und somit der eindeutige M-L-Schätzer.

Comments

Kannst du mir vielleicht bei einer Fragenoch behilflich sein?

Und zwar bei folgendem..

Ich lad paar Bilder hoch, da ist immer ein n makiert und ih weiß nicht wann man bei der Bildung der likelihood funktion dieses n einfügen soll.