Konvergenz beweisen - n im Exponent

Question

Zu beweisen: a_n+1 = (1+a_n)/2 mit a₁=3 konvergiert gegen den Grenzwert 1.

Nun habe ich die rekursiv definierte Folge in explizite Form gebracht wobei gilt dass a_n=1+2^2-n. Nun will ich also zeigen, dass diese Folge gegen 1 konvergiert, also sage ich:

Sei N = ? (noch zu bestimmen), dann gilt für a = 1:

|a_n - a| = |1+2^2-n-1| = |2^2-n| = 2^2-n < 2^2-N ≤ ε

Nun meine Frage: Wie wähle ich N?

Answer 1

Nun habe ich die rekursiv definierte Folge in explizite Form
gebracht wobei gilt dass a_n=1+2^2-n

Wenn deine Umforumng  richtig ist dann gilt doch

lim n −> ∞  [ 1 + 2^{2-n} ] = 1 + 2^{-∞} = 1 + 0 = 1

( Die Notation ist wahrscheinlich nicht ganz korrekt )

Comments

Aaah, stimmt. Dass der lim n-> ∞ von 2^2-n gleich 0 ist, hatte ich nicht bedacht. Danke :)