Ich melde mich hier zu Worte, weil ich dir heute ein von mir und " NN " entwickeltes Lösungsverfahren für quadratische Gleichungen vorstellen will, das es zwar schon seit 2011 gibt - gleichwohl wirst du es nicht kennen. Das ist ===> Samisdat; dein Lehrer dürfte es als illegal ansehen.
Mach dich mal schlau über den ===> Satz von der rationalen Nullstelle ( SRN ) Und hier gleich wieder mein flammender Protest; die von Wiki et al. vertretene Tese, der SRN sei von Gauß entdeckt, stellt immerhin die größte Fälschung dar in der Geschichte der Matematik. V. d. Waerden und Artin, Urgestein der Algebra ( 1930 ) kennen ihn gar nicht ...
Dein Schrat kennt diese Bücher - schließlich hat der gstudiert ...
Der Entdecker des SRN bleibt so Geheimnis voll und anonym wie die Dombaumeister des Mittelalters; wahrscheinliches Entdeckungsjahr ist 1975 ( Weiter zurück reichende Belege fanden sich bisher nicht. )
Du siehst; Mathe ist gar nicht so dröge und unspannend ...
Was zeichnet die Neuzeit aus vor dem Mittelalter? Aktion Immanuel
" Lerne dich deines eogenen Verstandes zu bedienen. "
Weil sämtliche Autoren, die den SRN bisher zitieren, erweisen sich als bloße Kopisten ( gleich den Verfassern mittelalterlicher Chroniken. ) Sie alle schreiben voneinander ab und - zitieren den SRN falsch.
Das wäre nämlich nicht möglich, wäre er wie behauptet tatsächlich 200 Jahre alt.
Die Crux: Der SRN hat doch überhaupt nur Sinn für ===> primitive Polynome ( Warum? ) Wiki et al versteigen sich gar, Polynome mit gebrochenen Koeffizienten ( ! ) zuzulassen .
In primitiver Form lautet dein Polynom
f ( x ) = x ² - p x + q = 0 ( 1a )
p = 8 ; q = ( - 240 ) ( 1b )
An dieser Stelle nun sah ich mich gezwungen, die Algebra um eine neue Definition zu bereichern: Ein Polynom, dessen primitive Form mit seiner Normalform überein stimmt ( Mit anderen Worten: Seine Normalform ist ganzzahlig ) heiße normiert. Über normierte Polynome macht der SRN die Aussage: Ihre Nullstellen sind schon dann ganzzahlig, wenn sie rational sind.
Wie kann man nun die Wurzeln von ( 1ab ) über den SRN bestimmen? Vieta das geschmähte Stiefkind
q = x1 x2 = ( - 240 ) ( 2 )
" Das ist nicht dein Ernst, sämtliche Zerlegungen der 240 durchzuprobieren ... "
Sicher nicht; vor mir hat sich nämlich noch niemand gefragt, was ggt x1;2 sein könnte. Noch in jener Woche des Jahres 2011, als ich aus dem Internet vom SRN erfuhr, machte ich folgende Entdeckung:
Sei m ein Teiler; dann folgt wieder aus dem Satz von Vieta
m | x1;2 <===> m | p ; m ² | q ( 3a )
Ein m , das die rechte Seite von ( 3a ) befriedigt, möge K-Teiler des Polynoms f in ( 1a ) heißen - " K " wie " Koeffizient " Der größte K-Teiler ist dann selbst redend der gkt , im Falle ( 1b ) also 4 . Unsere Behauptung
ggt x1;2 = gkt ( f ) ( 3b )
Kann man auch ein Polynom durch seinen gkt kürzen analog dem ggt bei einem Bruch? Genau das; dies geschieht vermöge der Substitution
x =: u * gkt ( f ) = 4 u ( 4a )
Dies eingesetzt in ( 1ab ) ergibt
( 4u ) ² - 2 * 4 ( 4 u ) - 4 ² * 15 = ( 4b )
= 4 ² ( u ² - 2 u - 15 ) = 0 ( 4c )
Wie begutachtet man Fälschungen? Es ist nicht glaubwürdig, dass ein Gauß, der Entdecker von Teilbarkeitseigenschaften, die unsereins nicht mal versteht, den gkt verschwitzt haben sollte.
Noch weniger Überzeugungskraft hat jenes Argument, in den seit Gauß verflossenen 200 Jahren sei vor mir niemand auf den gkt gestoßen ...
Die Lösung von ( 4c ) gestaltet sich aber trivial. Die 15 hat nur die triviale Zerlegung 15 = 1 * 15 so wie die nicht triviale 15 = 3 * 5 . Hinreichende Bedingung - überlerbenswichtig in jeder Klausur - ist immer Vieta p .
p = u1 + u2 ( 5a )
| u1 | = 1 ; | u2 | = 15 ; | p | = 14 ( 5b )
| u1 | = 3 ; | u2 | = 5 ; | p | = 2 ( 5c ) ; ok
Jetzt noch das Vorzeichen richtig gedreht, und fertig ist die Laube .
u1 = ( - 3 ) ; u2 = 5 ( 5d )
x1 = ( - 12 ) ; x2 = 20 ( 5e )
