Wie komme ich auf unbekannte Koordinaten von Vektoren, wenn die unten beschriebenen Bedingungen gelten?

Question

Tag zusammen, ich habe Probleme mit folgender Aufgabe:

Es seien

v1 := (3,1,2)^T, v2 := (1,−1,a)^T, v3 := (1,b,c)^T gegeben. Von der symmetrischen Matrix A = A^T ∈ R(3,3) sei bekannt, dass Av1 = 3v1, Av2 = 2v2, Av3 = λv3, und det(A) = −6. 

Wie kommt man jetzt anhand dieser Bedingungen auf a, b, c und λ?

Comments

Ich habe auch schon alle Gleichungen aufgestellt, aber daraus erkenne ich einfach nicht, wie man die Unbekannten berechnen kann. Muss man hier irgendetwas beachten?

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Ok mittlerweile habe ich für λ=-1 raus, weil das der dritte Eigenwert ist. Und ich habe auch beachtet, dass es eine symmetrische Matrix ist. Und trotz all dem komme ich auf keine Lösung, es sind einfach zu viele Unbekannte. Kann mir bitte jemand helfen, ich verstehe es einfach nicht..

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ich bräuchte Hilfe bei einer Aufgabe, die es wirklich in sich hat. Wie gesagt geht es bei dieser darum über (teilweise unbekannte) Eigenvektoren, Eigenwerte und der Determinante die dazugehörige Matrix zu bestimmen. Gegeben sind die Eigenwerte: λ1= 3, λ2=2, λ3=-1 und die Eigenvektoren (3,1,2)^T(gehört zu λ1), (1,-1,a)^T (gehört zu λ2) und (1,b,c)^T (gehört zu λ3). Darüber hinaus ist auch die Determinante =-6 bekannt. Ich habe nun wirklich alles versucht, aber ich komme einfach nicht darauf, wie ich diese Aufgabe bewerkstelligen kann. Ich hoffe irgendjemand kann mir helfen.

Grüße

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Um was für eine Matrix handelt es sich?

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Sorry, dass habe ich ganz vergessen. Es muss eine symmetrische 3x3 Matrix bestimmt werden.

Answer 1

das ganze kann man natürlich auch über Gleichungssysteme sehr kompliziert auffahren, ich schätze mal der Sinn hinter der Aufgabe ist es aber nochmal essentielle Eigenschaften symmetrischer Matrizen zu wiederholen.

1) Die Determinante ist das Produkt der Eigenwerte => \(\lambda = -1\)

2) Zwei Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind stets orthogonal, somit also:

$$ a = -1 $$

$$ b = 5 $$

$$ c = -4 $$

Gruß

Comments

Vielen Dank für die Antwort! Achso, also hast du die Unbekannten a,b und c über das Skalarprodukt der jeweiligen Vektoren ausgerechnet?

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Ja :). Wie du siehst also doch nicht so schlimm.

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Ne stimmt schon, ich hatte einfach vergessen, dass die orthogonal zueinander stehen müssen ;)

Aber was ich noch fragen wollte, wenn man jetzt die zugehörige Matrix A ausrechnen will, dann muss man das schon über die Gleichungsysteme machen, oder gibt es da vielleicht auch eine schnellere Variante?

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Jo deine Matrix A ist orthogonal diagonalisierbar.

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Und was heißt das dann im Klartext? Sorry, ich kenne mich mit den Begrifflichkeiten nicht so gut aus

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Das bedeutet, es gibt eine orthogonale Matrix \(S\) mit

$$ A = S D S^T $$

mit \(D\) -> Diagonalmatrix mit den EW als Einträge

und \(S\)-> Matrix mit den normierten Eigenvektoren als Spalten

Wenn du dich nicht mit den Begrifflichkeiten auseinandersetzt kannst du solche Aufgaben auch kaum effizient lösen.