die Lösung von georgborn funktioniert sehr zuverlässig. Das Umformen in die Scheitelpunktform ist aber im Normalfall leichter. Zusätzlich trainiert man ein wenig die quadratische Ergänzung*( mit der sowohl p,q-Formel als auch a,b,c-Formel (Mitternachtsformel) hergeleitet werden können.
Normalform
$$ f(x)=ax^2+bx+c $$
Scheitelpunktform mit Scheitelpunkt S( d | e )
$$ f(x)=a(x-d)^2+e $$
Hier kann man den Scheitelpunkt bequem ablesen.
Bei Deinen beiden Beispielen kann man leicht erkennen, dass d und e jeweils 0 sind. Lediglich a ist einmal 2 und einmal -0,5.
$$ f(x)=2(x-0)^2+0 $$
und
$$ f(x)=-\frac{1}{2}(x-0)^2+0 $$
Der Scheitelpunkt ist also in beiden Fällen S( 0 | 0 ).
Ergänzenden Erklärungen:
$$ g(x)=a (x-d)^2 $$
entspricht einer Verschiebung von S entlang der x-Achse um d, d.h. Scheitelpunkt S ( d | 0 ).
$$ h(x)= ax^2 + e $$
entspricht einer Verschiebung von S entlang der y-Achse um e, d.h. Scheitelpunkt s ( 0 | e ).
$$ i(x) = a(x-d)^2 + e $$
ist dann eine Kombination aus beiden Verschiebungen, also d in x-Richtung und e in y-Richtung, S ( d | e ).
Allgemein gilt für die Normalform
$$ f(x)=ax^2 + bx + c $$
ist die Scheitelpunktform
$$ f(x)=a(x+\frac{b}{2a})^2 + \frac{4ac-b2}{4a} $$
Herleitung über quadratische Ergänzung*(
$$ \begin{aligned}f(x)&=&ax^2+bx+c \\&=& a(x^2+\frac{b}{a}x +\frac{b}{2a}^2 - \frac{b}{2a}^2 ) + c \qquad \text{quadratische Ergänzung mit } +\frac{b}{2a}^2 \\ &=& a(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{b}{2a}^2) + \frac{4ac}{4a}- \frac{b^2}{4a} \\&=& a(x+ \frac{b}{2a})^2 + \frac{4ac-b^2}{4a} \\\end{aligned} $$
*) persönlicher Nachtrag zu quadratischer Ergänzung
Ich hatte einmal einen Mathe und Physik Lehrer, bei dem wir alles nur mit QE lösen durften. Jegliche hergeleitete Formel (p,q oder a,b,c) war tabu. Wir haben in damals dafür verflucht, aber auf der anderen Seite hat es dafür gesorgt, dass wir die Lösung verstanden haben, anstatt einfach nur Formel anzuwenden. Im Nachhinein war ich dafür nie aufgeschmissen, wenn ich mal die p,q- oder a,b,c-Formel nicht auswendig konnte. Konnte sie ja ohne Probleme herleiten. (Allgemeine Lösung von x2 + px + q =0 , bzw. ax2 + bx +c = 0).
Später bin ich noch öfter auf Probleme gestossen ( Studium ), wo man an QE einfach nicht vorbei kam.
Gruß
