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Ich soll die zweite Ableitung von u'(x)*v'(x) machen!Die erste Ableitung wäre ja:  u'(x)*v(x)+v'(x)*u(x)und die zweite hätte ich jetzt einfach folgendermaßen gemacht:f''(x)= u''(x)*v(x)+v''(x)*u(x)In der vorgegebenen Lösung von meinem Lehrer heißt es jedoch: noch + 2*u'(x)*v'(x)Das verwirrt mich nun etwas, da ich eigentlich dachte die Produktregel verstanden zu haben...Warum muss dieses Produkt hinzugefügt werden?Vielen Dank schon einmal an Alle, die mir helfen können :)

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Was ich an den Antworten sehr interessant finde, ist die auffallende Ähnlichkeit zur binomischen Formel, wenn man die Exponenten als n-te Ableitung versteht. :-)

$$ (a+b)^2 = a^2\cdot b^0+ 2\cdot a^1 \cdot b^1 + a^0\cdot b^2 $$

$$ (u+v)'' = u'' \cdot v + 2\cdot u'\cdot v' + u \cdot v'' $$

Vergleicht man die allgemeinen Formeln

Binomischer Lehrsatz

$$ (a+b)^n = \sum_{k=1}^{n} {n \choose k} \cdot a^k \cdot b^{n-k}  $$

Leibnizsche Regel (n-te Ableitung)

$$ (u\cdot v)^{(n)} = \sum_{k=1}^{n} {n \choose k} \cdot u^{(k)} \cdot v^{(n-k)}  $$

ist die Ähnlichkeit nicht zu übersehen.

3 Antworten

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Hi,

Die Produktregel

(u*v)'=u'*v+u*v'

Jetzt leiten wir diesen Term nochmals ab. Aus der Produktregel selbst folgt für die beiden Summanden (man kann Summanden ja immer getrennt voneinander ableiten):

(u'*v)'=u''*v+u'*v'

und

(u*v')'=u'*v'+u*v''

Insgesamt erhalten wir:

(u*v)''

=(u'*v+u*v')'=(u'*v)'+(u*v')'

=(u''*v+u'*v')+(u'*v'+u*v'')=u''*v+u*v''+2*u'*v'

Gruß

Avatar von 6,0 k

Danke :)) Mir ist gerade danke euch ein Licht aufgegangen, so schwer war es ja gar nicht...

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Huhu,

Du meinst wohl

f(x) = u·v

und willst davon die Ableitung bestimmen?

f'(x) = u'·v + u·v'

Nun scheinst Du hier die Produktregel nicht mehr berücksichtigt zu haben?

f''(x) = u''·v + u'·v' + u'·v' + u·v'' = u''·v + 2u'v' + 2u·v''


Alles klar?


Grüße

Avatar von 141 k 🚀
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> Die erste Ableitung wäre ja:  u'(x) • v(x) + v'(x) • u(x) und die zweite hätte ich jetzt einfach   > folgendermaßen u''(x)*v(x)+v''(x)*u(x)

Richtig: u''(x) • v(x) + u'(x) • v'(x) + v''(x) • u(x) v'(x) • u'(x) 

[ du hast zweimal die Produktregel, also 4 Summanden]

u''(x) • v(x) + v''(x) • u(x) + 2 • v'(x) • u'(x) 

Dein Lehrer hat also mal wieder recht :-)

Gruß Wolfgang

Avatar von 86 k 🚀

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