Bestimmen Sie die reelle Lösungsmengen der folgenden Ungleichung: |x²-9|<|x-1|

Question

es handelt sich um folgende Ungleichung :
|x²-9|<|x-1|

Ich tue mich schwer mit der Fallunterscheidung bzw. den Bedingungen . Pro Teilgleichung gibt es ja 2 Fälle , entweder ≥0 oder <0 . Mit x²≥9 kann ich jedoch nicht viel anfangen , kann man das irgendwie noch vereinfachen durch Wurzelziehen ? Bekomme dadurch doch aber noch mal jeweils 2 Fälle : -3 und +3.

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Skizziere die Terme links und rechts der Gleichung. Demgemäss solltest du 4 Schnittstellen finden.

~plot~abs(x^2-9); abs(x-1) ~plot~

exakt in den von mathecoach angegebenen Bereichen. 

Answer 1

Untersuche wo der Term in den Beträgen Null wird

ABS(x^2 - 9) < ABS(x - 1)

x^2 - 9 = 0 --> x = ± 3

x - 1 = 0 --> x = 1

Damit erhalte ich folgende Fallunterscheidungen

Fall 1: x ≤ -3
Fall 2: -3 ≤ x ≤ 1
Fall 3: 1 ≤ x ≤ 3
Fall 4: x ≥ 3

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Danke ! Noch eine allgemeine Frage, wieso arbeitest du mit " ≤ " ,wenn allgemein nur die Fälle zu unterscheiden sind : ≥0 oder <0 , sprich entweder ist ein Term negativ oder positv-oder 0 . Als Beispiel der 2. Fall  bei dem beide Terme negativ  sein sollen , jedoch durch das Vergleichszeichen ≤ auch 0 sein könnten.

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Die Null ist halt weder Positiv noch negativ und kann daher in beiden Mengen mit betrachtet werden. Genau genommen muss man das nicht machen sondern braucht es nur in einer Menge mit aufnehmen. Aber es ist doch einfacher einfach nur überall kleiner gleich und größer gleich zu schreiben als sich noch darüber Gedanken zu machen wo man die Null nun mit hinein nimmt. Du darfst sie einfach in beide Grenzfälle mit hinein nehmen.

Answer 2

die Intervallgrenzen für die Fallunterscheidung ergeben sich aus den Nullstellen x=1 und x=±3 der Terme in den Beträgen.

Innerhalb der Intervalle ] -∞; -3 [ ,  [ -3 ; 1 ] , ] 1 ; 3 [  und ] 3 ; ∞   [ haben diese Terme festes Vorzeichen.

Man kann dann für jeden Fall  | Term | = Term, wenn Term ≥0 bzw. | Term | = - Term, wenn Term  < 0 ist, ersetzen

und die betragsfreien Gleichungen - unter den jeweiligen Fallbedingungen lösen. Die Teillösungsmengen kann

man dann zusammenfassen.

Ergebnis:  - √41/2 - 1/2 < x < 1/2 - √33/2   oder   √41/2 - 1/2 < x < √33/2 + 1/2

Gruß Wolfgang

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Vielen Dank für die Hilfe, für mich ist nur noch eins fraglich. Im 3. Fall haben wir ja 1<x<3 , ich erhalte 2 Ergebnisse : 2,7 und -3,7 . Wieso ist auch -3,7 ( -√41 /2 -1/2) in der Lösungsmenge enthalten , obwohl diese Lösung außerhalb des Intervalls 1<x<3 ist.

Answer 3

Diese Antwort ist bei der erstmaligen  Eingabe leider verschwunden.

Betragsgleichungen oder - ungleichungen können verwirrend wirken.
Als Schema hat sich bewährt

- Die Betragsfunktion ändert sich bei | term | = 0.
- Berechnung der Nullstellen des terms
- Die gefundenen Werte werden auf einem Zahlenstrahl eingetragen
- die Bereiche die gesondert berechnet werden müssen werden
eingetragen

Dann bleibt die Aufgabe klar.

Bin bei Bedarf gern weiter behilflich.

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Sehr hilfreicher Tipp , Vielen Dank !!!

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Bitte schön.

Answer 4

Ohne Fallunterscheidung:\(\quad\vert x^2-9\vert<\vert x-1\vert\)$$\Leftrightarrow(x^2-9)^2-(x-1)^2<0$$$$\Leftrightarrow(x^2+x-10)\cdot(x^2-x-8)<0.$$Nun die Nullstellen der beiden Faktoren bestimmen und der Größe nach sortieren.