quadratische Funktionsgleichung berechnen mit einem Integral

Question

Eine nach unten geöffnete, zur y-Achse symmetrische Parabel mit dem y-Achsenabschnitt 1 schließt mit der x-Achse eine Fläche A=16/3 ein. Wie lautet die Funktionsgleichung der Parabel?

Erwarteter Ergebnistyp: f(x) = Dezimal  · x² + 1

Ich bin soweit:

a*x²+b*x+c, wobei a negativ sein muss, b = 0 sein muss und c = 1 ist.

Außerdem ist das  _-Schnittpkt  ∫ ^+Schnittpkt f(x) = 16/3 <--> F(Sp) - F(-Sp) = 16/3.

Zudem ist der Scheitelpkt (0|1)

Die Stammfkt F(x) = (1/3)*-a*x³+x

Answer 1

f ( x ) = a * x^2 + 1
Nullstellen
a * x^2 + 1 = 0
x = ± √ ( -1 / a )
( Hinweis : wenn a auch minus ist, dann ist der Radikant positiv )

Stammfunktion
∫ a* x^2 + 1 dx
a * x^3 / 3 + x

Ich berechne nur 1 Hälfte der Fläche

[  a * x^3 / 3 + x ] ₀ √(-1/a)
a * ( √ ( -1 / a ) )^3 / 3 + √ ( -1 / a ) = 8 / 3
a = -1 / 16

f = -1/16 * x^2 + 1
( -4 | 0 ) ( 4  | 0 )

Answer 2

mit deinem Ansatz  -ax^2 + 1 hast du ja Nullstellen bei  ±1/√a

Also muss das Integral von - 1/√a  bis  1/√a  den Wert 16/3 ergeben

Answer 3

die Parabel hat die Form f(x) =  ax² +1   [ mit a<0, weil Parabel nach unten geöffnet ]

ax² +1 = 0 ergibt die  Nullstellen   x₁ = √(-1/a)  und  x₂ = √(-1/a)

A = x1∫^x2 (ax² +1) dx = 16/3

[ 1/3 a x³ + x ]_x1^x2  =  4 / (3•√(-a) = 16/3  →  √(-a)  = 1/4  →  a = - 1/16

Gruß Wolfgang