Ungleichung mit Betrag. |x - 2| < 1 . Korrekte Rechnung?

Question

Die klammern sollen die betragsstriche darstellen:
(x-2)<1_____________
1.fall: x-2≥0; x≥2__________
x-2<1;x<3
____________2.fall:x-2<0; x<2_____________
-(x-2)<1; -x+2<1; -x<-1 ; x>1
EDIT: Überschrift editiert gemäss Kommentaren. In den Kommentaren auch nochmals die Frage besser lesbar.

Comments

Entschuldigung ich habe es versucht so ordentlich wie möglich aufzuschreiben....

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Das ist offenbar nicht gut gelungen!

Ist diese Ungleichung gemeint?
$$\left|x-2\right| < 1$$

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Ja genau.
Gibt es eigentlich hier einen Editor für mathematische Formeln ?

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Ja, hier:

https://www.matheretter.de/rechner/latex

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So das ist meine Rechnung und ich wollte wissen, ob sie korrekt ist  :

$$|(x-2)<1| \\ 1.Fall:x≥2 \\ \\ x-2<1\\ x<3 \\ 2.Fall: x<2 \\ -(x-2)<1\\ -x+2<1\\ -x<-1 \\ x>1$$

Answer 1

Ja, die Rechnung ist korrekt, aber unnötig aufwändig. Die Ungleichung beschreibt alle Zahlen, deren Abstand von 2 kleiner als 1 ist. Das ist ohne explizite Fallunterscheidung und ohne jede Rechnung das Intervall $\left]2-1,2+1\right[$.

Answer 2

es geht hier ohne Fallunterscheidungen:

Wenn |x-2|<1 gelten soll, muss der Wert des Terms x-2  zwischen -1 und 1 liegen:

|x - 2| < 1 

⇔ -1 < x - 2 < 1  |  +2

⇔ 1 < x < 3

Gruß Wolfgang

Answer 3

Die klammern sollen die betragsstriche darstellen:
(x-2)<1_____________
1.fall: x-2≥0; x≥2__________
x-2<1;x<3
____________2.fall:x-2<0; x<2_____________
-(x-2)<1; -x+2<1; -x<-1 ; x>1

| x-2 | <1

1.fall: x-2 ≥ 0 => x ≥ 2
x-2 < 1
x < 3

Zusammen x ≥ 2 und x < 3
2 ≤ x < 3

2.fall:x-2 < 0  =>  x < 2
-(x-2) < 1
-x + 2 < 1
1 < x
x > 1

Zusammen x < 2 und x > 1
1 < x < 2

Insgesamt
1 ≤ x < 3

Comments

Oh vielen Dank ! Genauso hatte ich es auch :D

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Hallo Georg,

kleiner Schreibfehler:  1 < x < 3   (nicht 1 ≤ x <3 )

Gruß Wolfgang

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@Wolfgang, danke für den Hinweis.