ich versuche mal die Antworten zu geben und auch ein wenig zu erklaeren.
Aufgabe 6
a) richtig
Bei einer lokalen Extremstelle liegt eine waagerechte Tangente vor. Diese hat die Steigung 0 und somit muss auch gelten \( f'(x_0)=0 \).
b) falsch
Es kann sich auch um einen Wendepunkt von \( f(x) \) handlen. Daher ist \( f'(x_e)=0 \) auch nur ein notwendiges aber nicht hinreichendes Kriterium, d.h. man muss noch weitere Test machen, wenn man eine Nullstelle von \(f' \) gefunden hat.
c) falsch
Das hiesse nur, dass \( f(x) \) an dieser Stelle einen Nulldurchgang hat, also eine Nullstelle die kein Extrempunkt ist.
d) richtig
Vor der Stelle faellt \( f(x) \) die ganze Zeit und danach steigt die Funktion. Das ist die Bedingung für ein lokales Minimum.
e) falsch
Der Wert von \( f(x) \) allein ist egal für ein lokales Maximum oder Minimum.
f) richtig
An der Stelle direkt muss \( f' = 0 \) sein, aber direkt davor muss \( f' \) positiv und direkt dahinter negativ oder genau umgekehrt sein, damit ein Extremum vorliegt. Plus nach Minus Wechsel bedeutet Maximum.
Aufgabe 7
A-C richtig
D: 6
Aufgabe 8
e-g richtig
a-c sollest Du ohne Probleme selbst noch schaffen...
d) kann man nicht sagen
Beweis:
Aus den Nullstellen von \(f'\) folgt
\[ f'(x)= (x+1) \cdot (x-2)= x^2-x-2 \]
Alle Funktionen \( f_c(x)= \frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2-2x+c \qquad c \in \mathbb{R} \) haben dieses \( f' \) als Ableitung. Je nach dem wie man \( c\) nun waehlt faellt das Vorzeichen an der Stelle entsprechend aus. Die Form von \( f(x) \) beeinflusst das aber nicht, daher kann man auch die anderen Aussagen treffen.
~plot~x^2-x-2;1/3*x^3-1/2*x^2-2x+1;1/3*x^3-1/2*x^2-2x+3;1/3*x^3-1/2*x^2-2x-1;[[-6|6|-4|4]]#
Gruss
