Gibt es eine ganzrationale Funktion vom Grad 4, deren Graph durch A(3|27) geht und den Tiefpunkt T(0|0) hat?

Question

Gibt es eine ganzrationale Funktion vom Grad 4, deren Graph durch A(3|27) geht und den Tiefpunkt T(0|0) und den Hochpunkt H(2|16) hat?

Answer 1

Lösungsweg

f(3)=27

f(0/0)=0

f'(0)=0

f(2)=16

f"(2)=0

f(x)= ax^4+bx^3+cx^2+dx+e

f'(x)=4ax^3+3bx^2+2cx+d+0

alles klar?

Comments

Bis dahin bin ich auch gekommen und habe die Bedingungen in die allg. Funktionen eingesetzt. Doch beim lösen des LGS komme ich nicht weiter...

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wegen f(0)=0 und f'(0)=0 ist e=0 und d=0. Dann bleibt noch ein System von 3 Gleichungen mit drei Unbekannten, von denen eine durch 9 und zwei durch 4 geteilt werden können. Dann wird es machbar.

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wie wäre es denn, wenn du dein LGS einfach mal angibst?

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Zur Kontrolle

f ( x ) = 3·x^4 - 16·x^3 + 24·x^2

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So sieht mein LGS aus:

Answer 2

f (3)=27

f (0)=0

f ' (0)=0

f (2)=16

f " (2)=0

f ( x ) = ax⁴ + bx³ + cx² + dx +e
f ' (x ) = 4ax³ + 3bx² +2cx +d

f (0)=0 => e = 0
f ' (0) = 0  => d = 0

f ( x ) = ax⁴ + bx³ + cx²
f ' (x ) = 4ax³ + 3bx² +2cx

f ( 3 ) = a * 3⁴ + b * 3³ + c * 3² = 27
f ( 2 ) = a * 2⁴ + b * 2³ + c * 2² = ¹⁶
f ´( 2 ) = 4 * a * 2^3 + 3 * b * 2^2 + 2 * c * 2 = 0

81 * a  + 27 * b  + 9 * c  = 27
16 * a  + 8 * b  + 4 * c  = 16
32 * a  + 12 * b  + 4 * c  = 0

81 * a  + 27 * b  + 9 * c  = 27 | * 4
16 * a  + 8 * b  + 4 * c  = 16 | * 9

324 * a + 108 * b + 36 * c = 108
144 * a + 72 * b + 36 * c = 144  | abziehen
-----------------------------------------
180 * a + 36 * b = - 36

16 * a  + 8 * b  + 4 * c  = 16
32 * a  + 12 * b  + 4 * c  = 0   abziehen
------------------------------------
-16 * a - 4 * b = 16

180 * a + 36 * b = - 36
-16 * a - 4 * b = 16  | * 9

180 * a + 36 * b = - 36
-144 * a - 36 * b = 144  | addieren
------------------------------
36 * a = 108
a = 3

Den Rest machst du.

Comments

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