Rekonstruktionsaufgabe, wie löse ich diese am besten?

Question

Ich habe ein Problem bei dem Graphen von c.

Hier erkenne ich 2 Hochpunkte: H1(-1/0) H2(1/0).Außerdem einen Tiefpunkt bei: T(0/-1).Desweiteren ist die Funktion Symmetrisch zur y-Achse ->F(x)=ax^4+cx^2+eWie löse ich dieses Rätsel nun?Ich hätte nun 6Gleichungen... Einmal durch das einsetzen der x-Werte in die Funktionsgleichung und einmal durch einsetzen der x-Werte in die 1.Ableitung..Schlussendlich bin ich auf f(x)=-x^4+5/2x^2-1 gekommen, was aber falsch ist.Könnt ihr mir bitte ausführlich helfen, danke im Voraus.Leiter kann ich meineRechnungen gerade nicht hochladen, muss dies hier mit dem Handy schreiben und das ist sehr ungenau.

Answer 1

H1(-1/0) H2(1/0).
Außerdem einen Tiefpunkt bei: T(0/-1).
Desweiteren ist die Funktion Symmetrisch zur y-Achse ->F(x)=ax⁴+cx²+e

T(0/-1).
f ( 0 ) = a*0^4 + c * 0^2 + e = -1  => e = -1

f ( x ) = a * x^4 + c * x^2 - 1
f ´( x ) = 4 * a * x^3 + 2 * c * x

f ( 1 ) = a * 1^4 + c * 1^2 -1 = 0
f ´( 1 ) = 4 * a * 1^3  + 2 * c * 1 = 0


a + c -1 = 0
4 * a   + 2 * c  = 0

a = 1 - c
4 * ( 1 -c ) + 2 * c = 0
4 - 4 * c + 2 * c = 0
c = 2
a = -1

f  ( x ) = - x^4 + 2 * x^2 -1

Probe durch die Skizze

~plot~  - x^4 + 2 * x^2 -1  ~plot~

Answer 2

c)  \(H_1(-1|0)\)    \(H_2(1|0)\)

Extrema auf der x Achse sind immer doppelte Nullstellen.

Ich nutze die Nullstellenform der ganzrationalen Funktion 4.Grades:

\(f(x)=a(x+1)^2(x-1)^2\)

Außerdem gibt es einen Tiefpunkt \(T(0|-1)\)

\(f(0)=a(0+1)^2(0-1)^2=a\)

\(a=-1\)

\(f(x)=-(x+1)^2(x-1)^2\)