Kann mir jemand beim Lösen dieser Aufgabenstellung helfen - Doppelintegral - Flächenschwerpunkt - Flächenmomente

Question

Bestimmen Sie für die skizzierte Fläche die Lage des Flächenschwerpunktes sowie die axialen Flächenmomente I_x und I_y und das gemischte Flächenmoment I_xy

Lösungshinweis: I_xy = ∫∫ x • y dy dx

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wie kommst du auf die 1/4a^2  vor den integralen?

Answer 1

die Grenzen kannst du doch quasi schon ablesen:

$$ 0 \leq x \leq 2s $$

$$ 0 \leq y \leq a+x $$

Gruß

Comments

Vielen DAnk für die schnelle Antwort.
Die Grenzen und die Fläche ist nicht das Problem, mit dem Integrieren hapert es. Ich komme nicht auf die Ergebnisse von X_s=7/6a; y_s= 13/12; I_x= 20/3a⁴; I_y= 20/3a⁴: I_xy= 17/3a⁴

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Zeig mal was du bereits gemacht hast, dann kann ich dir sagen, wo dein Fehler liegt.

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Das ist mein erstes Doppelintegral. Könntest Du mir bitte Schritt für Schritt erklären wie ich nun vorgehen muss??? Ich habe das X abgeleite zu x/2² und als nächstes für X a+x eingesetzt. 

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Ok da habe ich zu schnell geguckt. Also, das innere Integral geht nach \(y\). So sieht die Rechnung aus:

$$ \begin{aligned} x_S &= \frac{1}{4a^2} \int \limits_0^{2a} \int \limits_{0}^{a+x} xdydy \\ &= \frac{1}{4a^2} \int \limits_0^{2a}  \Big[xy \Big] ^{a+x}_{y=0}dx\\ &= \frac{1}{4a^2} \int \limits_0^{2a} ax+x^2dx = \frac{1}{4a^2} \left [ \frac{a}{2}x^2+ \frac{1}{3}x^3 \right ]^{2a}_0 = \frac{7}{6}a \end{aligned}$$

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X_s=1/4a² Integral von 0 bis 2a (a+x)-0 Wie geht es nun weiter???

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Sorry, stehe gerade auf dem Schlauch. Schonmal vielen Dank für deine Hilfe

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Siehe oben.

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Super, vielen Dank. Eine Frage habe ich noch, woher kommt das x²  (Integral 0 bis 2a ax. x² dx)???=14a2∫02aax+x2dx=14a2∫02aax+x2dx=14a2∫02aax+x2dx

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Von \(x(a+x)\).

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Klar, logisch. Vielen Dank für die schnelle Hilfe

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Gerne, achte also in Zukunft darauf, nach welcher Variable integriert wird.

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Ich muss nochmal nerven. a/2 x² + 1/3 x³ dort setze ich nun für x 2a ein???

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Oder 2a (a/2 x² + 1/3 x³) ??? Ich sollte um diese Uhrzeit kein Mathe mehr lernen

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Ja schlaf dich lieber aus. ;) Schau dir morgen am besten noch mal an wie man Integrale berechnet.

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Hallo Yakyu,

könntest du mir bitte bei dem Rechenweg nach y_s  nochmal behilflich sein? Wenn ich die Stammfunktion bilde bleibt bei mir ein x übrig und dieses bekomme ich nicht fort

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Zeig mal was du gemacht hast.

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Das ist mein Rechenweg.

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Warum hast du direkt am Anfang dxdy vertauscht?

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Das ist eine Gute Frage. Dann muss ich mir was falsches notiert haben.

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Keine Ahnung was du dir notiert hast, aber es macht doch überhaupt keinen Sinn nach x zu integrieren, dabei aber die Grenzen für y zu benutzen.

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Trotzdem bekomme ich das X nicht fort. Irgendwie hat es bei mir noch nicht klick gemacht bei dem Integrieren.

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Wie wäre es vielleicht erstmal mit einfachen Integralen, Doppelintegral scheinen bei dir grade noch Overkill zu sein...

Du hast einen Fehler beim integrieren nach y, es fehlt der Faktor 1/2.

Klar hast du da noch x stehen, du hast ja auch noch nicht de Grenzen eingesetzt....

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Besteht die Möglichkeit das du mir mal den Rechenweg für y_s zeigst??? Vielleicht verstehe ich es dann besser

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Obwohl ich es eigentlich besser wissen sollte, aber gut, mehr als darauf hinweisen kann ich ja auch nicht :).

$$  y_s = \frac{1}{4a^2}\int \limits_0^{2a} \int \limits^{a+x}_0ydydx =  \frac{1}{4a^2} \int \limits_0^{2a} \Bigg[\frac{1}{2}y^2 \Bigg]^{a+x}_{y=0}dx = \frac{1}{4a^2} \int \limits_{0}^{2a}\frac{1}{2}(a+x)^2dx = \frac{1}{4a^2} \Bigg [\frac{1}{6}(a+x)^3 \Bigg]_{x=0}^{2a} = \frac{13}{12}a $$

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Danke für die Geduld ;-)