Integralrechnung mit Normale

Question

Bereite mich gerade auf mein Abitur in ein paar Monaten vor, da hat die Lehrerin uns gestern paar Aufgaben gegeben darunter diese. "Der Graph f mit f(x)=3x^2, die normale an den Graphen von f im Punkt (2/12) und die y Achse schließen eine Fläche ein. Berechnen diese." jetzt hab ich die Gleichung der normalen aufgestellt und weiß nicht so ganz wie es weiter geht. Weiß jemand mir zu helfen?

Answer 1

Die Normale hat die Gleichung  n(x) = 12+1/6  -  1/12 * x

In der Darstellung verzerrt, wegen verschiedener Einheiten bei x und y

~plot~3x^2; (-1/12)*x+(12+1/6); [[0 | 4 | 0 | 15 ]]~plot~

Jetzt berechnest du das Integral von 0 bis 2 über  n(x) - f(x)

Answer 2

Gleichung der Normale y = -x/12+73/6
∫₀¹² (3x²)dx +∫₂¹⁴⁶ (^-x/₁₂+⁷³/₆)dx

Comments

sorry, ich habe x. und y-Achse verwechselt.

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Wenn da wirklich die x-Achse gemeint ist, musst du den SP der Normale

mit der x-Achse bestimmen, der liegt bei  (146 ; 0 )

Also Integral von 0 bis 2 über f(x)

+ Integral von 2 bis 146 über n(x)

Answer 3

Es geht konkret um folgende Fläche:

Zunächst gilt es die Geradengleichung der Normalen zu bestimmen, die den Punkt P enthält:

$$y_n(x)=-\frac{1}{f'(2)}(x-2)$$

(Die Steigung der Normalen entspricht gerade dem negativen Kehrwert der Tangentensteigung).

Anschließend den Schnittpunkt der Normalen mit der y-Achse bestimmen.

Die obere Fläche kann dann aus zwei Teilflächen bestimmt werden:

-Die erste Fläche bekommt man über das Dreieck bestehend aus den Punkten A, F und Q (0,12)

-Die zweite Fläche erhält man folgendes tut:

$$A_2= 2 \cdot 12 - \int_{0}^{2}3x^2dx$$

Das ist gerade die Differenz zwischen dem Rechteck und der Fläche unterhalb der Funktion.

Hoffe das hilft weiter!

Schöne Grüße