1.1
\(\overrightarrow{AB}\) = \( \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}\) und \(\overrightarrow{AC}\) = \( \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ -4 \end{pmatrix}\) = 2 • \( \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}\)
→ A,B und C liegen auf einer Geraden.
Parametergleichung:
\(\vec{x}\) = \(\vec{a}\) + r • \(\overrightarrow{AB}\) + s • \(\overrightarrow{AD}\)
\(\vec{x}\) = \( \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\) + r • \( \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}\) + s • \( \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\)
Normalenvektor: \( \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}\) x \( \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\) = \( \begin{pmatrix} 6 \\ -6 \\ 3 \end{pmatrix}\) = 3 • \( \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}\)
Koordinatengleichung: 2x - 2y + z = 4 da \( \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}\) • \( \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\) = 4
1.2
Die gesuchte Ebene hat - wegen der Parallelität - den gleichen Normalenvektor, verläuft aber durch den Punkt P:
Normalengleichung:
\( \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}\) • \(\vec{x}\) = \( \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}\) • \( \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}\)
Koordinatengleichung:
2x + y - 2z = 3
Gruß Wolfgang