Landesabitur 2012 lineare algebra

Question

Ich habe die Nummer eins diese abivorschlags gelöst. Indem ich als erstes die parameterform durch die drei Punkte  aufgestellt habe. Dann hab ich das kreuzprodukt gebildet und wobei -2/0/0 rauskam und dadurch die koordinatengleichung aufgestellt, die Lösung zur Kontrolle sieht aber was anderes vor, was ich mir nicht erklären kann ... Könnte mir jemand bei der 1.1 und 1.2 helfen?

Answer 1

Indem ich als erstes die parameterform durch die drei Punkte  aufgestellt habe.

Hoffentlich hast du nicht ABC genommen, denn die liegen ja auf einer Geraden

(s. Aufgabe).

Wenn du ABD nimmst würde es doch wohl so

x = (3|2|2) +  t*(2 | 1 | -2 ) + s * ( 1 | 2 | 2 ) und dann gibt das Kreuzprodukt

( 6 | -6 | 3 ) und das ist  3*( 2 | -2 | 1 ) wie gewünscht.

Comments

und bei 1.2 nimmst du den gleichen Normalenvektor ( 2 | -2 | 1 )
und als Punkt  ( 3 | 1 | -1 ) , dann gibt es
2x -2y + z = d   und mit dem P
6 - 2 - 1 = d
3 = d und damit ist
E :    2x -2y + z = 3

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Danke :) es ist ja eigentlich ganz simpel, wenn ich nur einmal richtig gelesen hätte

Answer 2

1.1

\(\overrightarrow{AB}\) = \( \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}\) und \(\overrightarrow{AC}\) = \( \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ -4 \end{pmatrix}\) = 2 • \( \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}\)

→  A,B und C liegen auf einer Geraden.

Parametergleichung:

\(\vec{x}\) = \(\vec{a}\) + r • \(\overrightarrow{AB}\) + s • \(\overrightarrow{AD}\)

\(\vec{x}\) = \( \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\) + r • \( \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}\) + s • \( \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\)

Normalenvektor:  \( \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}\) x \( \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\) = \( \begin{pmatrix} 6 \\ -6 \\ 3 \end{pmatrix}\) = 3 • \( \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}\)

Koordinatengleichung:   2x - 2y + z = 4    da  \( \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}\) •  \( \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\) = 4

1.2

Die gesuchte Ebene hat - wegen der Parallelität - den gleichen Normalenvektor, verläuft aber durch den Punkt P:

Normalengleichung:

\( \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}\) •  \(\vec{x}\) = \( \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}\) • \( \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}\) 

Koordinatengleichung:

2x + y  -  2z  = 3

Gruß Wolfgang