Exponentialgleichung 3*7^{2x-8}=16 lösen

Question

Hi,


habe diese Exponentialgleichung vor mir: 3*7^2x-8 = 16.


Mein Ansatz:

3*7^2x-8 = 16

ln(3)+(2x-8)*ln(7) = ln(16)

ln(3)+xln(14)-ln(56) = ln(16)

xln(14) = ln(69)

(x) ln(14) = ln(69)

x = ln(69)/ln(14)


=)

Comments

Oje, das sieht gar nicht gut aus.

Die zweite Zeile stimmt ja noch aber dann ...

Du kannst nicht einfach einen Faktor, der vor dem Logarithmus steht, in das Argument des Logarithmus hineinmultiplizieren.

2 * x * ln ( 7 ) ist also nicht dasselbe wie x * ln ( 2 * 7 )


Ebenso wenig kannst du einfach eine Summe von Logarithmen durch den Logarithmus der Summe der Argumente ersetzen, also

ln ( a ) + ln ( b ) ist im Allgemeinen nicht gleich ln ( a + b )

Aufgrund dieser Fehler ist dein Ergebnis leider falsch (wie du übrigens auch durch eine Probe (Einsetzen) prüfen kannst)

Answer 1

Ich würde es so rechnen:

16 = 3 * 7 ^{2 x - 8}

<=> 16 / 3 = 7  ^{2 x - 8}

<=> log ( 16 / 3 ) = log ( 7 ^{2 x - 8} ) = ( 2 x - 8 ) * log ( 7 )

<=> log ( 16 / 3 ) / log ( 7 ) = 2 x - 8

<=> x = ( ( log ( 16 / 3 ) / log ( 7 ) ) + 8 ) / 2  

<=> x = 4,430126857...

 

Schau dir auch die Videos zu den Exponentialgleichungen an:

https://www.youtube.com/watch?v=1J8PJyEBkM0

Comments

Danke, hab's jetzt so gerechnet

 

3*7^2x-8=16

ln(3)+(2x-8)*ln(7)=16

ln(3)+2xln(7)-8ln(7)=ln(16)

2xln(7)=ln16)+8ln(7)-ln(3)

x(2ln(7))= "

x=ln(16)+8ln(7)-ln(3)/2ln(7)

x= 4,430126857

 

Müsste also stimmen. Du hast den Exponentenvergleich gemacht, in dem du durch 3 geteilt hast, das bietet sich nicht immer an, finde ich, trotzdem danke und viele Grüße :=)

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So ist es ebenfalls richtig und deine letzte Aussage

x = ( ln ( 16 ) + 8 * ln ( 7 ) - ln ( 3 ) ) / ( 2 * ln ( 7 ) )

ist auch äquivalent zu meiner letzten Aussage:

x = ( log ( 16 / 3 ) / ( log ( 7 ) ) + 8 ) / 2


Einen Exponentenvergleich allerdings habe ich nirgends vorgenommen ...