Hochpunkt/ Tiefpunkt berechnen von f(x)= x^3-3*x^2+3*x

Question

Ich habe jetzt von f(x)= x^3-3*x^2+3*x die Ableitung genommen und so umgeformt dass ich die pq formel nutzen konnte da kam dann x1=1 und x2=1 raus. Dann kam kurz vor und nach x1 bei der Ableitung jeweils 0,0012 raus und der y Wert den ich dann für x=1 mit f(x) berechnet habe ist 1 also müsste nur bei P(1/1 ) die Steigung =0 sein? Geht das? Und was ist das dann? Hoch oder Tiefpunkt? Oder habe ich mich verrechnet?

Danke für eure Antworten

Answer 1

f(x) = x^3 - 3·x^2 + 3·x

f'(x) = 3·x^2 - 6·x + 3 = 3·(x^2 - 2·x + 1) = 3·(x - 1)^2 = 0

x = 1 ist doppelte Nullstelle und damit Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel. Damit hat die Funktion dort einen Sattelpunkt und keinen Extrempunkt. Es gibt also keine Hoch und Tiefpunkte.

Answer 2

Geh doch ganz formell vor.

f(x) = x³ - 3·x² + 3·x
f'(x) = 3·(x - 1)²
f ´´( x ) =  3 * 2 * ( x -1 ) * 1
f ´´( x ) = 6 * ( x - 1 )

Stelle mit waagerecher Tangente : Steigung = 0
f ´( x ) = 0
3·(x - 1)² = 0
x = 1

Monoton steigend
f ´( x ) > 0
3·(x - 1)² > 0
Ein Quadrat ist stets >= 0
Außer bei x = 1 ist die Funktion stets monoton steigend.

Die Stelle x = 1 ist also weder
Tiefpunkt ( Wechsel der Steigung von fallend auf steigend )
noch
Hochpunkt ( Wechsel der Steigung von steigend auf fallend )

Krümmung
f ´´( x ) = 6 * ( x - 1 )
Krümmung bei x = 1
f ´´( 1 ) = 6 * ( 1 - 1 )  = 0
keine Krümmung

Die Funktion ist stets steigend und ist im Punkt  x = 1  waagerecht .
Der Punkt ist eine Sattelpunkt.

~plot~ x^3 -3 *x^2 + 3 * x ~plot~