Funktionsschar, die sich im I.Quadranten ins Unendliche erstrecken soll?

Question

Ich wäre wieder unendlich dankbar, wenn mir jemand helfen kann. Integralrechnung ist leider einfach wirklich nicht mein Thema und im Abitur dürfen wir keine Formelsammlung nutzen :(

Aufgabe: Der Graph K_t und die x-Achse schließen ein Flächenstück ein, dass sich im 1. Quadranten ins Unendliche erstreckt. Zeigen Sie, dass diesem Flächenstück für alle t ein endlicher A_t zugeordnet werden kann.

f_t (x) = (2x + t) * e^{(-x / t )}

Mein Gedanke dazu ist folgender:

Zuerst bilde ich die Stammfunktion : F (x) = -t (2x+3t) * e ^{(-x / t )}   

Meine Untergrenze wäre a und meine Obergrenze b, die Richtung unendlich läuft.

∫_a ^b  = -t * (2b  +3t) * e^{( -b / t)}  - t * (2*0 +3*t ) *1

Und ab hier hört es auf mit der Idee. Wäre bitte jemand so lieb und zeigt mir, wie es geht vielleicht Step by Step nach dem Motto Integral for Dummies :/

Answer 1

Mach dir am besten eine Skizze, dann siehst du, wie du die untere Grenze \(a\) wählen musst.

Und deine Idee mit dem Grenzwert ist richtig: Du berechnest das Integral zuerst für beliebiges \(b\) und dann den Grenzwert für \(b\to\infty\).

Comments

Also könnte ich für b auch eine 1 einsetzen zum ausreichnen?

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Nein, wie willst du denn dann den Grenzwert für \(b\to\infty\) bilden?

Das \(b\) bleibt erstmal so stehen.

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Sorry sag ja Integral ist leider nicht mein Gebiet gewesen damals. Zweite Idee wäre, ich finde erst mal die Nullstellen und nutze ggf die als Grenzwert

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Hast du dir mal die Skizze gemacht? Vielleicht wird dann vieles klarer.

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Wir haben nie Scharen skizziert..

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Alle Funktionen der Schar wirst du auch nicht skizzieren können (es sind unendliche viele ;)).

Nimm ein paar konkreten Wert für \(t\), z.B. \(t=1\) und \(t=2\).

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wähle ich für t jedoch 1 wäre meine Untergrenze ca. -0,5

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Nein, das stimmt nicht. In der Aufgabe steht doch "im ersten Quadranten".

Hier sind die Graphen von \(f_1\) und \(f_2\):

~plot~ (2x+1)*e^{-x};(2x+2)*e^{-x/2};[[-0,5|10|-0,5|3]] ~plot~

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Ich versteh ehrlich gesagt trotzdem nicht, was ich rechnen soll. Bis jetzt sieht es so aus für mich, als wäre b abhängig von der Schar

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Die Funktionen haben alle nur eine Nullstelle, nämlich auf der negativen x-Achse. Nach rechts erstreckt sich die gesuchte Fläche "unendlich weit", weil sich die Funktionen nur der x-Achse annähern. Was würdest du denn da als \(b\) nehmen wollen?

Ist dir überhaupt klar, was das Integral \(\int_a^b \! f(x)\, dx\) anschaulich ist?

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Ich würde für b jetzt wahrscheinlich 0,5 nehmen, da dort der höchste Punkt ist.

Naja das Integral ist eine Fläche unter einer Funktion..

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Lies dir nochmal die Aufgabe durch. Steht da, dass du die Fläche nur bis zum höchsten Punkt berechnen sollst?

Nochmal: Für \(b\) gibt es keinen konkreten Wert; das lässt du am Ende gegen \(\infty\) laufen.

Um es noch deutlicher zu machen: Gesucht ist der Flächeninhalt der grünen Fläche:

(wobei sich die Fläche unendlich weit nach rechts erstreckt, dabei aber immer schmaler wird).
Was wird jetzt wohl die untere Grenze des Integrals sein?

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Letzter Versuch bevor ich es gleich ins Eck schmeiße..hab nämlich noch so eine Aufgabe mit dem Unterschied, dass dort t gegeben ist.

Also b ist ∞ und a ist 0

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Ja, es ist das Integral \(\int_0^\infty \! f_t(x) \, dx\) gesucht. :)

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Was eine Geburt...Du hättest dir mindestens 10 Schachteln Merci verdient.

Aber wie zeigt man nun auf, dass für alle t ein endlicher Inhalt zugeordnet werden kann? Oder ist das mit dem obigen Integral erledigt?

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Nein, das ist noch nicht erledigt; du hast ja noch nicht gezeigt, dass das Integral endlich ist.

Wie oben schon gesagt, ist dieses Integral eigentlich ein Grenzwert: $$ \int_0^\infty \! f_t(x)\, dx = \lim_{b\to\infty} \int_0^b \! f_t(x)\, dx $$

Du musst jetzt zeigen, dass der Grenzwert auf der rechten Seite endlich ist.

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Dann hätte ich jetzt das da stehen :

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Bis jetzt alles richtig. Und weiter?

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Ab da hab ich keine Ahnung. Ich hab grade mal auf einem Arbeitsblatt geschaut von früher und dort wurde alles mit b zu 0 würde bei mir heißen ich hätte am Ende - 3t^2 + 3t^2 stehen,  was sich ja aufheben würde

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Wobei ich glaube mich zu erinnern, dass es kein negativ gibt...daher wäre es der Betrag von -3t^2...nur wenn ich das auflöse komme ich auch auf 0

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Gucken wir uns erstmal den ersten Summanden an: $$ \lim_{b\to\infty} \left[-t(2b+3t)e^{-\frac{b}{t}}\right] $$ Das können wir auch so schreiben: $$ \lim_{b\to\infty} \left[-t\cdot \frac{2b+3t}{e^{\frac{b}{t}}}\right] $$ Bei diesem Bruch gehen Zähler und Nenner für \(b\to\infty\) gegen \(\infty\); die e-Funktion wächst aber schneller, weswegen der Quotient den Grenzwert \(0\) hat. Daran ändert auch der konstante Faktor \(-t\) nichts.

(hoffentlich hast du von dieser Eigenschaft schon mal gehört; wenn nicht: kennst du die Regel von L'Hospital?)

Wir haben jetzt also: $$ \lim_{b\to\infty} \left[-t(2b+3t)e^{-\frac{b}{t}}\right]=0 $$ Der zweite Summand ist konstant \(3t^2\), hängt also gar nicht von \(t\) ab. Der Grenzwert ist also \(0+3t^2=3t^2\).

Alles klar? Wenn nicht, dann frag ruhig. :)

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Ich muss mir das morgen noch einmal anschauen, muss mich langsam fertig machen und zur Schule. Aber wirklich einen Millionen Dank für deine Engelsgeduld. Zum Glück sitzen Stochastik, Matrizen und analytische Geometrie..sonst könnte ich mich wahrscheinlich vom Abi verabschieden..aber naja ist auch nicht einfach mit Mathe LK und dann nur einmal in der Woche

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OK. Viel Glück bei deinem Abitur. :)

Answer 2

der Stammfunktionsterm ist   3·t² - t ·e^-x/t · (2·x + 3·t)    (partielle Integration)

[ Edit: vgl.Kommentare ]

Gruß Wolfgang

Comments

Die Stammfunktion in der Frage ist doch aber auch möglich.

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Ich hab es jetzt grad extra in einen Rechner eingegeben und ich komm auch dort auf "meine" Stammfunktion *grübel*

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Stimmt, danke Nick. ( 3t² ist ja nur ein konstanter Summand )

∫₀ ^b ....  = - t * (2b  +3t) * e^{( -b / t)}  - t * (2*0 +3*t ) *1   →  -3 t²  für b→ ∞ 

weil  e^-b/3 → 0 für b →∞   und der e-Term "überwiegt"   - t * (2b  +3t) (→ -∞)

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Kleiner Vorzeichenfehler: Die Funktion verläuft überall im ersten Quadranten über der x-Achse, also muss das Integral auch positiv sein.

∫₀ ^b ....  = - t * (2b  +3t) * e^{( -b / t)}  - (-t * (2*0 +3*t ) *1)   →  3 t²  für b→ ∞

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Stimmt, hatte den Term von Nadine übernommen und lediglich weiter berechnet.

Answer 3

 Hallo Nadine,
deine Überlegungen und Berechnungen sind eigentlich schon weit
gediehen. Hier die Berechnungen meines Matheporgramms.

1.Zeile : die Funktion
2.Zeile : der Schnittpunkt der Funktion mit der x-Achse : a
3. Zeile : Stammfunktion bilden
4.Zeile : a in die Stammfunktion einsetzen

Für die obere Grenze b ergibt sich

ein Ausdruck ∞ mal 0. Dieser kann für L´ Hospital umgeformt werden  zu
∞ / ( 1 / 0 ) = ∞ / ∞
Als Wert dürfte sich 0 ergeben.

Der Wert des Integrals ergib sich dann zu  : 0 - ( -2*t^2 * √ e ) = 2 * t^2 * √ e

Bei Interesse wieder melden.

mfg Georg

Comments

In der Aufgabe steht: "... schließen ein Flächenstück ein, dass sich im 1. Quadranten ins Unendliche erstreckt. ..."

Man soll wohl als untere Grenze x=0 wählen, oder?

Wobei das eigentlich wurst ist, denn man sollte ja nur zeigen, dass die Fläche endlich ist.

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Hallo Nick,

ich bin nicht deiner Meinung

Die Kurve und die x-Achse scjhließen ein Flächenstück ein.
Der Anfangspunkt ist der Schnittpunkt links mit der x-Achse.

Weitere Eigenschaft
rechts : im 1.Quadranten nach unendlich.

Man soll wohl als untere Grenze x=0 wählen, oder? Nö.

Wobei das eigentlich wurst ist, denn man sollte ja nur zeigen,
dass die Fläche endlich ist.  Ja.

mfg Georg

Answer 4

  Zunächst teste ich deine Stammfunktion mit der Metode des ===> logaritmischen Differenzierens.
  ( Hier ich bin der Null-Bock-Opa; Aufgaben mit Integral nehme ich grundsätzlich nicht mehr an. )



     ln  (  F  )  =  ln  (  2  x  +  3  t  )  -  x / t    (  1  )
    
    y / F = 2  /  (  2  x  +  3  t  ) -  1 / t     (  2  )



   Wenn ich jetzt F in ( 2 ) einsetze



    y  =  - 2  t  exp ( )   +  (  2x  +  3  t  )  exp ( )     (  3  )



   scheint zu stimmen; doch ganz heißer Tipp. Mit sowas bitte in Zukunft zum ===> Wolfram Integrator. Der produziert zwar jede Menge Schwa chsinn ³ , aber wenn du mit Köpfchen mitdenkst, sollte es klappen.
   Warum ich mich hier hauptsächlich zu Wort melde: Keine Ahnung, was " a " sein soll.
   Und eine Idee, ein ( nur vorläufig ) endliches " b " einzusetzen, ist ein komplizierter Irrweg.
    Diktat für Regelheft und Spickzettel:

   " Die e-Funktion unterdrückt jedes Polynom. "

   D.h. so bald der Exponent gegen ( - °° ) geht, werden alle e-abhängigen Terme automatisch Null.