Warum darf die Basis bei Exponentialfunktionen nicht negativ sein?

Question

Exponentialfunktion: f(x) = a^x (a ∈ℝ, a > 0, a ≠ 1)

Wenn ich Werte bei f(x) = (-2)^x einsetze, erhalte ich berechenbare Ergebnisse.

f(1) = (-2)^1 = -2
f(0) = (-2)^0 = 1
f(-1) = (-2)^{-1} = 1/2
f(-2) = (-2)^{-2} = 1/2^2
etc.

Weshalb schließt man dann negative Basen a aus?

Answer 1

Du hast als Exponent immer nur ganze Zahlen eingesetzt. Da ist das alles kein Problem.

Exponentialfunktionen sind aber ganz \(\mathbb R\) definiert. Und z.B. mit \((-2)^{\frac{1}{2}}\) hättest du schon ein Problem.

Answer 2

Da gilt nur für diese Aufgabe.

Übrigens:

f(-1) = (-2)^{-1} = 1/(-2)^1 = 1/-2 = -1/2

Negative Basen sind grundsätzlich erlaubt.

Comments

Danke für die Antwort, jedoch reicht mir "Das gilt nur für diese Aufgabe." nicht als Begründung aus.

Vielleicht lässt sich die Notwendigkeit des Ausschlusses irgendwie begründen?

Answer 3

a^x = exp(log(a)*x) mit exp(x) = e^x

Nur für Leute oder Rechner, die sich mit komplexen Zahlen nicht auskennen, darf die Log-Funktion nicht negativ werden.

Alle anderen rechnen mit komplexen Zahlen weiter:

(-0.3)^{-0.3} siehe Bild

http://www.lamprechts.de/gerd/php/RechnerMitUmkehrfunktion.php

Answer 4

Jede Exponentialfunktion soll/kann mit der e-Funktion (sog. natürliche Exponentialfunktion) ausgedrückt werden:

a^x = e^{x*ln a} 

Wenn man bei ln a für a negative Werte einsetzen würde, wäre der Logarithmuswert nicht definiert. Aus diesem Grund schließt man ihn aus der Definition aus.

Comments

Es ist die Frage, ob du die Exponentialfuktion über den Logarithmus definierst oder umgekehrt. Beides gleichzeitig ist nicht wirklich sinnvoll.

Der springende Punkt steht eigentlich in Nicks Kommentar / Antwort.

Eine Exponentialfunktion f(x) = a^x soll in R allen reellen Zahlen x einen reellen Wert a^x zuordnen.

Das geht bei negativen Basen nicht für nichtganzzahlige Exponenten. (Wenn der Fragesteller gern den Definitionsbereich auf D=Z einschränkt und mit ein paar Pünktchen im Koordinatensystem etwas machen möchte, darf er das eigentlich schon, sollte aber nicht unbedingt von einer reellen Exponentialfunktion sprechen, weil der Begriff anders definiert ist)