Partielles Ableiten f(x,y)=(x^2-1)(xy^2+y)

Question

nach welcher Regel leite ich hier ab?

Answer 1

multipliziere doch aus

Wenn Du nach x ableitest ist y wie eine Konstante zu betrachten,

Wenn Du nach y ableitest ist x wie eine Konstante zu betrachten,

Comments

ist das so korrekt? habs nach x abgeleitet

---

Ja , das stimmt

---

nachdem ich die Ableitung nach y und x gebildet habe, setze ich beide funktionen 0,

ich hab aber keine Ahnung wie ich bei dieser Art von Gleichungen auf meine Punkte (x/y) komme..

---

Hier gibt es die Theorie dazu

http://nibis.ni.schule.de/~lbs-gym/Verschiedenespdf/Extrema2Variable.pdf

---

ich verstehe dadurch leider auch nicht wie ich das Gleichungssystem löse und auf die Punkte komme

fx= 3 x^2 * y^2 + 2xy - y^2 = 0

fy= 2 y^2 * x^3 + x^2 - 2yx = 0

---

fy stimmt nicht

---

wo liegt der fehler?

wie sieht die Lösung dafür aus?

Answer 2

   f  (  x  ;  y  )  :=  (  x  ²  -  1  )  (  x  y  ²  +  y  )  =        (  1a  )

                        =  x  ³  y  ²  +  x  ²  y  -  x  y  ²  -  y        (  1b  )



    Form ( 1b ) eignet sich besser für die ganzen Ableitungen nach x , während wir ( 1a ) direkt nach y ableiten werden.




        f_x  (  x  ;  y  )    =         3  x  ²  y  ²  +  2  x  y  -  y  ²  =        (  2a  )

                                 =   [  (  3  x  ²  -  1  )  y  +  2  x  ]  y           (  2b  )

        f_xx  (  x  ;  y  )  =      2  y  (  3  x  y  +  1  )        (  2c  )   

        f_y    (  x  ;  y  )  =  (  x  ²  -  1  )  (  2  x  y  +  1  )      (  3a  )

        f_yy  (  x  ;  y  )  =  2  x  (  x  ²  -  1  )     (  3b  )




    Die gemischte Ableitung am besten aus ( 2b )



 
        f_xy  (  x  ;  y  )  =  2  [  (  3  x  ²  -  1  )  y  +  x  ]     (  3c  )  




    Vielleicht findet ihr ja noch einen Rechenfehler. Wenn wir ( 2b ) Null setzen, kriegen wir entweder die Abszisse y = 0 oder die gebrochen rationale Funktion




           y  =  -  2  x  /  (  3  x  ²  -  1  )      (  4a  ) 


  

       In ( 3a ) habt ihr die ganz analoge Aussage x1;2 = ( -/+1 ) oder Hyperbel



       y  =  -  1  /  2  x    (  4b  )



     Erster Fall;  | x | = 1 ; y = 0 Dann überlebt in der Hessematrix alleine der Nebendiagonalterm, d.h. die ===> Paulimatrix S1. Und die ist indefinit ( solltet ihr wissen ) ; in der Physik beschreiben ihre Eigenwerte ( +/- ) die beiden Zustände " Spin up / down " Diese beiden sind Pattelsunkte.
   Fahren wir fort in unserer Systematik mit y = 0 . Bekanntlich verfehlt die Abszisse Hyperbel ( 4b ) , so dass wir diesen Fall ausschließen können. Jetzt wiederholen wir das Spielchen mit ( 4a ) ; einsetzen von x1;2




     (  x1  |  y1  )  =  (  -  1  |  1  )  ;  (  x2  |  y2  )  =  (  1  |  -  1  )     (  5a  )




    Machen wir Gebrauch von der Aussage  y = - x ; den Vorfaktor 2 ziehe ich heraus. Dann hat die Hessematrix die Form




         2  x    - x
          -  x     0         (  5b  )    ;  x  =  (  -/+ 1  )




     Die Determinante von ( 5b ) ist in jedem Falle negativ ganz gleich, was x sein soll - Sattelpunkt. Teoretisch müssten wir noch ( 4ab ) miteinander schneiden; aber da gibt es leider keine reelle Lösung.
  Tjaa; Extrema haben wir keine Gefunden. Es heißt ja auch ===> Ich will nen Cowboy als Mann und nicht, ich will nen Maximum als Mann.

Comments

 <<  ich hab aber keine Ahnung wie ich bei dieser Art von Gleichungen auf meine Punkte (x/y) komme..


  Ich habe auch nur experimentiert - sogar mit Unterstützung von Wolfram. Die entscheidende Idee, gewisser Maßen der ===> pengoratile Knallteffekt hinter dieser speziellen Aufgabe ist, dass y nur linear eingeht. Du kannst also nach y umstellen und bekommst klaschische Kurven aus dem Schulunterricht.
  Die sind auch immer bösartig; noch nie habe ich eine Aufgabe gesehen, wo du nicht höllisch Acht passen müsstest wegen der singulären Lösungen - hier x = 1 und y = 0 .

---

  Einmal ist mir was gar Seltsames passiert.  Eine hoch offizielle Aufgabe; die war so schwer, da kamen  hinterher zwei transzendente Gleichungen raus. Jede besagte, eine e-Funktion ist gleich einem Kegelschnitt ( x ; y ) Als Hilfestellung wurde gesagt, der Ursprung löst dieses Gleichungssystem; untersuche in üblicher Weise, ob es sich um einen Sattel oder ein Extremum handelt - hab ich gemacht.
   Dann veröffentlichte ich aber eine Ergänzung folgenden Inhalts.
   So normal lassen sich transzendente Gleichungen ja nicht lösen. Also gehe ich ganz frech her und isoliere



     exp ( x ; y )  =  quadr. Ausdr. 1 ( x ; y )

     exp ( x ; y )  =  quadr. Ausdr. 2 ( x ; y )


   So würde man also keine Gleichung umstellen; keines Wegs hatte ich ja nach x oder y aufgelöst. Wenn ich diese e-Funktion raus schmeiße, kann ich weiter nichts hoffen, als eine notwendige Kurve oder Punkte zu kriegen, wo sich die Lösung höchstens aufhalten sollte.
   Und kac ke du, gucke da, der Schnittpunkt der beiden Kurven auf der rechten Seite stellte sich als imaginär heraus; Frechheit siegt eben doch. Es gab keine weiteren kritischen Punkte außer dem Ursprung.
   Ich weise nur deshalb darauf hin, weil sich Iniative und Wagemut nicht auszahlen. Ich bekam einen frechen Kommentar, was ich denn da mache; wer mir das erlaubt . . .