Momentane Änderungsrate der Bevölkerungszahl. Bsp. Hochpunkt bestimmen.

Question

Aufgabe:

Die momentane Änderungsrate A(t) der Bevölkerungszahl auf einer Insel beträgt näherungsweise \( A(t)=\frac{1000 \cdot 1,1^{t}}{9+1,1^{t}}-15 t \) (t in Jahren; \( 0 \leqq t \leqq 100 ; A(t) \) in Bewohner pro jahr).

a) Die Funktion A hat eine Nullstelle. Bestimmen Sie diese und beschreiben Sie ihre Bedeutung.

b) Die Funktion A hat einen Hochpunkt und einen Tiefpunkt. Bestimmen Sie diese Punkte und beschreiben Sie ihre Bedeutung.

c) Wie groß ist das Bevölkerungswachstum nach 100 Jahren? Was bedeutet das Ergebnis? Vergleichen Sie mit dem Zeitpunkt, der zu dem Tiefpunkt von b) gehört.

Comments

Die momentane Aenderungsrate ist in der Aufgabe explizit angegeben, die muss nicht mehr bestimmt werden. Vielleicht faengst Du mal damit an, dass Du die Aufgabe selber richtig durchliest. Zudem gibt es in den Teilfragen a) und b) konkrete Handlungsanweisungen, denen Du einfach mal folgen koenntest. Bei c) ist schlicht t=100 einzusetzen.

Answer 1

a) Nullstelle bei 65,5 .  Also nach 65,5 Jahren bleibt die Bev.zahl kurzfristig konstant

Änderungsrate = 0.

b) Ableitung bilden und gleich 0 setzen. So findest du die Punkte.

c) s. Kommentar.

Comments

Oki danke aber könntest du mir einmal sagen wie du auf 65,5 bei a gekommen bist ??:)

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Und wie du die Ableitung von der Funktion gebildet hast ??

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Neben der Aufgabe 11 ist ein Taschenrechner abgebildet, dass bedeutet du darfst bei der Aufgabe  deinen CAS-Rechner verwenden. Wenn du mir verrätst was für einen  Taschenrechner du verwendest kann ich dir eventuell sagen was man eingeben muss :)  

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TI-nspire cx verwende ich 

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Mit diesem Rechner kenne ich mich leider nicht aus , weil ich selber einen anderen verwendet habe :/.

Ich kann dir aber allgemeine Anleitung geben wie es gehen sollte:

a) Hier gibst du einfach $$ \frac { 1000*1.1^t }{ 9+1.1^t } -15t=0 $$ ein und verwendest den solve Befehl deines Taschenrechners für t

b) Berechne zuerst die Ableitung der Funktion mithilfe deines Rechners ( die genaue Syntax weiß ich hier nicht)

 Die Ableitung setzt du dann 0 und nimmst wieder den solve Befehl.

c) Wie oben bereits erwähnt setzt du hier einfach t=100 in die Funktion ein. 

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Ich habe auch noch einen Taschenrechner von Casio fx-991ES PLUS

Answer 2

Für die Aufgabe nutzt man am besten ein geeignetes CAS-Programm
oder Taschenrechner.
Mein Matheprogramm hat es leider nicht geschafft die numerischen
Lösungen zu finden.

Ansonsten zu den Fragen.

a.) Der Nullpunkt in der Änderungsrate bedeutet eine Bevölkerungszunahme = 0.
ca bei x = 66 Jahre

b.) Hochpunkt : max Bevölkerungszunahme ca 225 Bewohner pro Jahr
Tiefpunkt lokaler Extrempunkt min - Zunahme ca 75

c.) -500,67 ( exakt )
Die Bevölkerung nimmt um 501 Einwohner pro Jahr ab.