Extremwertbeispiel Rechteck in Dreieck einbeschrieben

Question

Einem Rechteck mit den Seitenlängen a und b soll das flächenkleinste gleichschenkelige Dreieck umschrieben werden, sodass eine Seite des Rechtecks auf der Grundlinie des Dreiecks liegt. Berechne die Seitenlängen des Dreiecks!

Answer 1

Skizze:

A_Dreieck = 0,5*g*h = 0,5 * (a+2x)*(b+h)      a,b sind konstant also braucht man eine

Gleichung um einen Zusammenhang zwischen x und h zu bekommen.

Strahlensatz:

h / (a/2)  =  (a+h) / (( a/2) + x )      also h = a^2 / (2x)

A(x) = 0,5 * (a+2x)*(b+h)  =  0,5 * (a+2x)*(b+a^2 / (2x) ) = 2bx + a^3/(2x) + a^2 + ab

A ' (x) = 2b - a^3 / (2x^2 )  also gleich 0 für

x = a1,5 / (2*b0,5 ) = 0,5√ ( a^3/b)

und weil A ' ' (x) = a^3 / x^3 ist  A ' ' ( 0,5√ ( a^3/b) > 0 also dort ein Minimum.

Dreieckseiten also

Basis  =   a+√ ( a^3/b)  

Höhe =  b + h = b + a^2 / (2x) = b + √(ab)

Und dann mit Pythagoras die Schenkellänge ausrechnen.

Answer 2

Einem Rechteck mit den Seitenlängen a und b soll das flächenkleinste gleichschenkelige Dreieck umschrieben werden, sodass eine Seite des Rechtecks auf der Grundlinie des Dreiecks liegt. Berechne die Seitenlängen des Dreiecks!

Gerade durch P(a/2 | b)

f(x) = m·(x - a/2) + b = m·x + (b - 0.5·a·m)

Y-Achsenabschnitt

f(0) = b - 0.5·a·m

Nullstelle

f(x) = 0

m·x + (b - 0.5·a·m) = 0 --> x = 0.5·a - b/m

Fläche des Dreiecks

A = (b - 0.5·a·m) * (0.5·a - b/m) = - 0.25·a^2·m + a·b - b^2/m

A' = b^2/m^2 - 0.25·a^2 = 0 --> m = - 2·b/a

Abmessungen des Dreiecks

Grundseite

2·(0.5·a - b/(- 2·b/a)) = 2·a

Höhe

b - 0.5·a·(- 2·b/a) = 2·b