Definitionsbereich der Funktion f(x) = (x^3 - 2x^2 + x)/(x^2 - 1)

Question

Hallo ich habe die Aufgabe ;

a) Muss ich den Nenner betrachten wo er 0 wird . also x^2 -1=0 , ergibt x=±1

D=ℝ ohne (-1,1)

b) was ist damit denn gemeint mit einer Stetigen Fortsetzung?

c) hab ich f(x)=0 gesetzt , also x^3-2x^2+x=0

x ausgeklammert und  Porduktnullsatz gemacht .

x=0 und x1=x2=1 . Mit 1 einer doppelten Nullstelle.

was ich wissen will sind a) und c) richtig?

Und wie geht b)?

Answer 1

Die Funktion \( g(x)=\begin{cases}f(x) & x\in\mathbb{R}\setminus \{-1,1\}\\lim_{x\to-1}f(x) & x=-1\\lim_{x\to1}f(x) & x=1\end{cases} \) ist eine stetige Fortsetzung der Funktion \( f(x) \) auf den Definitionsbereich \( \mathbb{R} \).

Frage ist, existieren \( lim_{x\to -1}f(x) \) und \( lim_{x\to 1}f(x) \) überhaupt? Und wenn ja, wieviel?

Comments

Hallo Oswald , danke für deine Antwort .Das erklärt einiges ;)

Der limes hier sollte ∞ sein . Da man schon sieht  x^3 Höchste Potenz im Nenner ist höher als die im Zähler x^2. Wenn man mit 1/x^2/1/x^2 erweitert bleibt x/1 ( mit Restterme die aber alle 0 werden). Geht dann für x gegen unednlich , gegen unednlich.

Richtig?Dh die funktion ist nicht stetig fortsetzbar und der Definitionsbereich bleibt so wie er ist .

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> Der limes hier sollte ∞ sein . Da man schon sieht  x³ Höchste Potenz im Nenner ist höher als die im Zähler x².

Bei x=-1 hast du recht. Bei x = 1 haben allerdings sowohl der Zähler als auch der Nenner eine Nullstelle.

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Achso , ich hab hier falsch gedacht . Ich hab noch mit x gegen unendlich gerechnent und nicht mit -1 oder 1 , weil ich noch gelesen habe  x gegen unendlich.

wenn ich für x=1 und x=-1 einsetze bekomme ich die "null" im Nenner nicht weg weil x^2 dann gleich 1 ist und 1-1=0 . Somit würde ich sagen der Limes existiert nicht .

Answer 2

Die Stellen x = -1 und x = 1 sind eine Definitionslücke von f ( x )

~plot~ ( x^3 - 2*x^2 + x ) / ( x^2 -1 ) ~plot~

Mit stetige Fortsetzung wird wohl die " hebbare Lücke " bei x = 1 gemeint sein.

Für x = 1 ergibt sich 0 / 0 . Den Wert könnte man zum Beispiel übert L´Hospital
ermitteln.
Oder den Grenzwert für lim x−> 1(-) oder lim x−> 1(+) bestimmen.

Bei Interesse wieder melden.

Comments

Irgendwie scheint der Plotter manchmal nicht zu funktionieren

Hier ein andereres Plotterbild.

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Hallo Geord und danke für deine Antwort .

LAut der Grafik soll der Grenzwert bei x=1 existieren (weil keine asymptote da ist ) .

Ich habe hier auf Hospital vergessen , welch eine Schande ^^ Nach 2 maligen Ableiten erhalte ich

(6x-4)/2 mit x=1 ergibt das 2/2 =1 .

Blöde Frage Hierzu , kann hier etwas anderes als 1 rauskommen , würde dann auch stetige fortsetzung gelten? Nur das mann für diese Stelle einfach  einen anderen Funktionswert dann hätte?

Laut der Grafik sehe ich bei x=-1 gibt es eine Asymptote , dh also Grenzwert sollte nicht existieren.

für x=-1 ergibt das -4/0 . Darf ich da überhaupt Hospital anwenden?

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Ups Fehler , bei x=1 reicht einmal ableiten ^^

0/1 =0 .

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für x=-1 ergibt das -4/0 . Darf ich da überhaupt Hospital anwenden?

L´Hospital darf nur bei 0 / 0  , ∞  /  ∞  und 0 * ∞ ( nach Umforumung
zu ∞ / ( 1 / 0 ) verwendet werden.

Hier einmal alle 4 Grenzwerte ohne L´Hospital.
Bei ( x -1 ) / (  x - 1 ) darf bei lim x−> 1 gekürzt werden
da ( x -1 ) noch nicht 0 ist

Bei x = 1 ergibt sich 0 links und 0 rechts. Dann darf
dazwischen 0 angenommen werden

Bei x = -1 ergibt sich links -unendlich und rechts plus unendlich
Die Stelle ist eine Polstelle.

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Ok cool Danke !

Eine kleine Frage würde ich noch gerne Stellen .

Die Funktion hat offensichtlich 2 Extrema , sind die lokal oder global? Ich verstehe den Unterschied  nicht so ganz .

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globales Minimum / Maxmimum  sind der
kleinste / größtes Extremwert einer Funktion.

Bei dieser Funktion gibt davon nur jeweils einen.

Es gibt auch Funktionen die noch weitere Extremwerte haben.
Dies wären dann lokale Extrempunkte.

Der Mont Blanc ist der max Extrtempunkt der Alpen.
Die Zugspitze wäre ein lokaler Extrempunkt.

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"globales Minimum / Maxmimum  sind der
kleinste / größtes Extremwert einer Funktion.

Bei dieser Funktion gibt davon nur jeweils einen."

Nein, die Funktion aus der Aufgabe hat auf dem Definitionsbereich \(\mathbb R\setminus\{-1,1\}\) kein globales Maximum/Minimum.