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gegeben ist A = ℝ2\{0,0}, (a,b) ~ (c,d) <=> a*d = b*c.

Aufgrund der Äquivalenzrelation soll ich die Reflexivität, Symmetrie und Transitivität nachweisen. Die Reflexivität und Symmetrie waren einfach, aber bei der Transitivität komme ich nun nicht mehr weiter.

Transitivität:

Sei weiterhin (e, f) Element aus A, dann folgt aus a * d= b * c und c * f = d * e
unmittelbar (a,b) ~ (c,d) und (c,d) ~ (e,f) woraus folgt (a,b) ~ (e,f).

Ab hier komme ich nicht mehr weiter.
Im Buch wird mit folgendem fortgefahren:
a*d*f = b*c*f = b*d*e = a*c*f = a*d*e = b*c*e
Wie komme ich darauf?

Als nächstes wird "Wegen (c,d) ≠ (0,0) gilt c ≠ 0 oder d ≠ 0" verwendet.
Daraufhin wird eine Fallunterscheidung gemacht. Warum wählt man (c,d) ≠ (0,0)
und wieso wird eine Fallunterscheidug gemacht?

LG

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Beste Antwort

Rechne einfach mal ohne Fallunterscheidung so weiter, dass du die verlangte Gleichheit hinbekommst:

 a * d= b * c und c * f = d * e 

a/b = c/d  und c/d = e/f    ==> a/b = e/f

Nun zurück zur Darstellung als Produkt

a*f = e*b 

q.e.d. Transitivität.

Nun einfach noch kontrollieren, wo man Ungleichheit von 0 verwendet hat. 

Dann kommst du automatisch auf weitere Fälle. 

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Das wirkt sehr chaotisch. Nur um mal bisschen Struktur reinzubringen:
Wenn du die Transitivität der Relation zeigen möchtest, dann setzt du voraus, dass für \( (a,b), (c,d), (e,f) \in A \) gilt:
Falls \((a,b) \sim (c,d)  \) und \( (c,d) \sim (e,f)\) gilt, dann gilt auch \((a,b) \sim (e,f)\).
Das bedeutet du hast die 
Voraussetzung: \(ad=bc\) und \(cf = de\)
und musst zeigen, dass \(af = be\) gilt.
Anmerkung: Kommentar zur Frage nicht zu Lu's Antwort.

Yakyu: Ich habe offenbar deinen Kommentar verschoben. Sorry.

Kannst du noch bearbeiten?

Nicht schlimm, ich wunder mich grade ein wenig mehr darüber, dass in letzter Zeit bei mir die Zeilenumbrüche in den Kommentaren nicht richtig mitgenommen werden.

Ja.  Bei mir ist das allerdings ein Dauerärgernis.

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