Staubecken Aufgabe integral

Question

Also die Aufgabe ist:

w(t)= 67200*e^0,112*t  * (3+e^0,112*t )^-2

Aus einem Staubecken das ca. 150 000 m³   Wasser fasst wird zur reperatur des Staudamms das Wasser vollständig abgelassen. Nach erfolgter Reperatur wird wieder Wasser eingelassen

Als das Staubecken zur Hälfte gefüllt ist , beschließt man, ab sofort das Becken mit der konstanten Zuflussrate von 1250m³  pro Tag zu füllen.

Wie lange dauert der gesamte Füllvorgang?

Meine Frage: Wie soll ich das rechnen? Verändert sich die Funktion, wahrscheinlich ja, aber wie? Und brauche ich die Stammfunktion und wenn ja wie soll ich die mit e ausrechnen?

Danke schon mal im Voraus!!

Answer 1

w(t) = 67200·e^{0.112·t}/(e^{0.112·t} + 3)^2

Was gibt diese Funktion denn an

Comments

Die Zuflussrate von w(t)  in m^3  am Tag

t in Tagen

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Eventuell so:

W(t) = 150000·(e^{0.112·t} - 1)/(e^{0.112·t} + 3)

W(t) = 150000/2

150000·(e^{0.112·t} - 1)/(e^{0.112·t} + 3) = 150000/2 --> t = 14.37 Tage

150000/2 / 1250 = 60 Tage

Dann braucht es 74.37 Tage

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Das ist jetzt  die Veränderungsrate, rchtig?

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w(t) ist die Änderungsrate

W(t) ist die Wassermenge im Staubecken

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es war auch hoch minus 2 macht das einen Unterschied?

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Deswegen steht es bei mir in der Funktion unter dem Bruchstrich.

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Hallo, ich habe genau die gleiche Aufgabe bekommen und dieses Kommentar hier hat mir total geholfen, allerdings kann ich nicht ganz nachvollziehen wie auf 14,37 gekommen wird. Wäre es möglich das nochmal zu erklären?

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Löse die Gleichung

150000·(e^0.112·t - 1)/(e^0.112·t + 3) = 150000/2

nach t auf. Substituiere dazu z = e^0.112·t

Bekommst du das hin. Ansonsten kannst du auch ein Mathetool zur Kontrolle oder Unterstützung benutzen.

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Ich habe es hinbekommen und es macht auf jedenfall sind. Allerdings habe ich noch eine Frage und zwar wo genau nehmen wir aus der ersten klammer die - 1 her?

Also bei 150000*(e^(0.112t)-1)

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w(t) = 67200·e^(0.112·t) / (e^(0.112·t) + 3)^2

Du brauchst eine Stammfunktion

W(t) = - 600000 / (e^(0.112·t) + 3) + C
W(t) = - 600000 / (e^(0.112·t) + 3) + C

Wir bestimmen das C so das W(0) = 0 gilt

W(0) = - 600000 / (e^(0.112·0) + 3) + C = 0 --> C = 150000

W(t) = 150000 - 600000 / (e^(0.112·t) + 3)  

schreibt man das jetzt auf einen Bruch erhält man

W(t) = 150000·(e^(0.112·t) - 1) / (e^(0.112·t) + 3)

Das muss man aber nicht machen. Lass die Stammfunktion ruhig als

W(t) = 150000 - 600000 / (e^(0.112·t) + 3) 

stehen. Das ist auch später einfacher zum auflösen.

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Wo kommt die 600000 her?