Ungleichung Analysis 2 beweisen: Bsp. x^p - px ≤ 1-p, x≥ 0 , 0<p<1.

Question

ich möchte mich schonmal etwas auf Ana2 vorbereiten. Bin dabei auf diese Aufgabe gestoßen, .. bei a) muss ich zuerst nach x auflösen oder? Ich hoffe, dass ihr mir helfen könnt.

Answer 1

Bei a würde ich einfach mal nach Extrema schauen für x≥0.

f(x) = x^p -px  hat  f ' (x) = p* x^p-1 - p  und das ist = 0 nur für x =1

und f ' ' (x)= p*(p-1) * x ^p-2 ist für x = 1   negativ, da 0<p<1 , also hat f bei x=1 ein Max

und das ist das einzige Extremum, also absolut.

Also ist immer  f(x) ≤ f(1) = 1 - p

Comments

Aber man muss doch zeigen, dass die Gleichung für alle x=> 0 gilt

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Na ja, wenn bei x=1 das absolute Max im Defbereich x≥0 liegt,

dann sind alle f(x)-Werte ≤ f(1) , also gilt es für alle x≥0.

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Können Sie mir da bitte noch bei der b) helfen ?