Taylorreihe exp(x), Restglied

Question

ich hoffe jemand kann mir mit folgender Aufgabe helfen (es gilt zu beweisen):

Ich versteh nicht wieso hier ausgerechnet exp(1+t(x-1)) genutzt wurde.

Kann ich mit dem oben errechneten Grenzwert (innerhalb der blauen Klammer) nicht auch argumentieren?

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Um was geht es Deiner Meinung nach bei der Aufgabe?

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Man soll beweisen dass exp(x) = die obige Reihe ist, mit der Entwicklungsmitte x0=1.

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Und was tragen Deine Ueberlegungen dazu bei? Du hast nicht mal die Formel für die Taylor-Reihe richtig hingeschrieben. Die Ableitung ist im Entwicklungspunkt zu nehmen. Dann: Es reicht nicht zu zeigen, dass die Taylorreihe kobergiert. Es ist zu zeigen, dass sie gegen e^x konvergiert.

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Die Formel habe ich doch in der ersten Zeile angewandt. Hier geht es erst mal nur darum zu erkennen das alle Ableitungunen von exp(x) = exp(x) sind. Das Ergebnis ein bisschen umgeformt und voila man hat die Summe aus der Aufgabenstellung. Nun muss man noch beweisen dass das Restglied der Reihe gegen null konvergiert was mir etwas probleme bereitet hat aber dank des Hinweises von be1300 hab ich es nun verstanden.

Answer 1

Hi,

das was du in der blauen Klammer hast versucht zu berechnen ist das Inverse des Konvergenzradius, wobei du dort (x-x₀)^n eingerechnet hast, aber eine Potenzreihe ist definiert als ∑_n∞a_n*(x-x_o)^n, das (x-x₀)^n  gehört also nicht in das a_n mit rein. Um das Restglied zu bestimmen, musst du die Formel nutzen die bei Lösung steht. Man hat in der Formel für f(x₀+t*(x-x₀)) einfach x₀=1 und für f die Funktion eingesetzt, die durch die Potenzreihe dargestellt wird, also e^x.

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Stimmt das ist einleuchtend, danke. Könntest du mir vielleict einen Hinweis geben wie man auf den Grenzwert 0 gekommen ist?

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$$ \lim_{n\to\infty}\frac { x^n }{ n! }=\lim_{n\to\infty}\frac { { x }^{ n+1 } }{ (n+1)! }= \lim_{n\to\infty}\frac { x }{ n+1 }*\lim_{n\to\infty}\frac { x^n }{ n! }=0$$