Zeige dass Reihe auf allen kompakten Intervallen glm. konvergiert

Question

Zeige dass die Reihe

$$F(x)= \sum_{n=0}^{\infty} e^{-nx^2}$$

auf allen kompakten Intervallen [a,b] $\subset$ $\mathbb{R}_+$ mit 0<a<b gleichmässig konvergiert.

Beweise dass F: $\mathbb{R}_{>0}\rightarrow\mathbb{R}$ eine beliebig oft differenzierbare Funktion darstellt.

Zeige ausserdem, dass $$\lim_{x\rightarrow\infty} F'(x)=0$$ gilt.

Answer 1

https://de.wikipedia.org/wiki/Weierstraßsches_Majorantenkriterium

Comments

Was hilft mir dieses Kriterium?

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Ja, was wohl? Das ist das Totschlagargument zum Beweis der gleichmaessigen Konvergenz von Reihen. $$\sum e^{-nx^2}\le\sum e^{-na^2}<\infty$$

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Wie kommst du von x auf a?

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Wie zeige ich mit dem M-Test, dass die Funktion beliebig oft differenzierbar ist und der Limes der ersten Ableitung gegen 0 geht?

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Es gilt die Merkregel: Wenn die gliedweise differenzierte Reihe $\sum f_n'(x)$ glm. konvergiert, dann stellt sie die Ableitung der Ausgangsreihe $\sum f_n(x)$ dar.