Obere Schranke des Taylorpolynom berechnen

Question

f(x) = x^{1/3} Berechne das Taylorpolynom \(T_3f(x,1)\) dritten Grades am Entwickungspunkt a=1.

Gib eine obere Schranke des Fehlers von |f(x)-\(T_3f(x,1)\)| im Intervall [0.9,1.1]

Das Taylorpolynom habe ich wie folgt:

$$\frac{5}{18}x^3-\frac{8}{27}x^2+\frac{20}{27}x+\frac{40}{81}$$

Den Fehler wollte ich dann mit der Legendre-Form berechnen:

$$|R_4(x)|= |-\frac{10}{243}*( 4*x^{\frac{1}{3}}+6x^{\frac{-5}{3}}-4x^{\frac{-8}{3}}+x^{\frac{-11}{18}}|$$

Wie komme ich jetzt auf die obere Schranke im Intervall?

Comments

Komische Frage: "Obere Schranke des Taylorpolynoms berechnen".

Das Taylorpolynom mit Entwicklungspunkt 1 hat nebenbei Potenzen von (x-1), die sehe ich bei Dir gar nicht.

Schliesslich: Von der Legendre-Form des Restglieds hab ich noch nie was gehoert. Was Du da für R₄ aufgeschrieben hast, ist das ein Raetsel?

Answer 1

Bei dem Taylorpolynom stimmt - glaube ich - was nicht.

Bei x=1 müsste es doch mit x^1/3 übereinstimmen.

Ne, war nur vertippt, der Koeffizient bei x^3 ist 5/81 nicht 5/18.

Und in dem Restgleid kannst du doch verwenden, das x in [0.9,1.1]

liegt. Wenn du es mit Potenzen von (x-1) schreibst, sind die Klammern

alle vom Betrag her <0,1. Das müsste zum Abschätzen reichen.

Das approximiert ganz gut. siehe Graph:

~plot~5/81x^3-8/27x^2+20/27x+40/81; x^{1/3}~plot~

Comments

Wie meinst du, dass ich die Klammern mit (x-1) schreiben soll beim Restglied?

Habe das Restglied berechnet mit:

$$|f^{(4)}*\frac{1}{4!}*(x-1)^4|$$

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und wenn x aus dem gegebenen Intervall ist, dann ist (x-1) < 0,1

also (x-1)^4  < 0,1^4  = 0,0001

und den Rest musst du auch noch abschätzen, also

f⁽⁴⁾ (xsi) / 4!