Obere Schranke für den Wert der Reihe angeben

Question

∑ (1/3)ⁿ *(n/n+1)^{-n^2}

^{die Reihe geht von 1 bis ∞}

Wie mache ich das mit der oberen Schranke? (1/3)^n ist ja die geometrische Reihe mit dem Wert 1,5. Bringt mir das überhaupt was das zu wissen und wie muss ich weiter vorgehen?

Answer 1

Betrachte erst mal den zweiten Faktor, der in den Summanden steckt.

Das ist  ( n / (n+1) ) ^-n*n  =   (Ich nehme mal an n+1 ist der Nenner ??)

=( (n+1) / n  ) ^n*n  =   ( ( 1 + 1/n) ⁿ   ) ⁿ 

Dann sind die Summanden insgesamt 


( 1/3 ) ⁿ   *    ( ( 1 + 1/n) ⁿ   ) ⁿ 

=  (    ( 1/3 )  *     ( 1 + 1/n) ⁿ   ) ⁿ Nun ist   ( 1 + 1/n) ⁿ   die monoton wachsende

Folge mit Grenzwert e, also ist   die Reihe mit   (    ( 1/3 )  *  e ) ⁿ    eine

Majorante für deine Reihe.


Und wegen e < 2,73  ist  die geometrische Reihe

mit q =  1/3 * 2,73 = 0,91   eine Majorante . 

Diese hat den Grenzwert  1 / ( 1 - 0,91) = 100/9.

Also ist 100/9 eine obere Schranke für deine Reihe.