Warum ist Limes x->0 (ln(x)) = ∞?

Question

Warum hat die Funktion seinen Grenzwert bei  "1/∞" ?

f(x) = 1/(1+sqrt(1-(ln(x)))

ist ln(0) nicht undefiniert ? Dachte müsste da den de L'hospital anwenden

Comments

Den ln von 0 gibt es nicht

ln ( 0 ) = x  | e hoch
e^{ln[0]} =e^x
0 = e^x

Die e-Funktion kann niemals 0 werden.
Also ist der ln ( 0 ) nicht definiert.

Was ausgesagt werden kann ist

lim x −> 0 (+)  [ ln ( x ) ] = -∞

Der Graph ist dir sicherlich bekannt.

~plot~ ln ( x ) ~plot~

Answer 1

Hi,

beachte, dass es ja nicht um ln(0) geht, sondern um lim_(x->0) ln(x), also um eine Annäherung :). Da strebt dann der Logarithmus gegen -unendlich.

Den Verlauf sieht man hier. Für x->0 sind wir bei -∞.

~plot~ln(x)~plot~

Das führt letztlich auf 1/∞, was dann 0 ergibt (Gib einfach mal große Zahlen in den Taschenrechner ein).

Alles klar?

Grüße

Answer 2

Ich schreibe es mal so auf wie man es NIE aufschreiben sollte. Aber vielleicht wird es so für dich klarer.

1 / (1 + sqrt(1 - (ln(0+))))

= 1 / (1 + sqrt(1 - (- ∞)))

= 1 / (1 + sqrt(1 + ∞))

= 1 / (1 + sqrt(∞))

= 1 / (1 + ∞)

= 1 / ∞

= 0

So verstanden?

Comments

Also ist ln(0)  -Unendlich ?

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Ja. Man sollte den ungefähren Verlauf der ln und der e-Funktion kennen. Hier mal skizziert.

~plot~e^x ; ln(x) ; x~plot~