Beweise zu einen Körper K aus R

Question

Beweise folgende Aussagen:

1) es existiert 1 Element K (wobei 1 ungleich 0) für alle a Element K für die gilt 1*a=a*1=a

2) zu gegebenen a Element K, a ungleich 0 ist das multiplikative Inverse 1/a eindeutig bestimmt : a*(1/a)=(1/a)*a=1

3) zu a,b Element K, a ungleich 0 gibt es genau ein x Element K, sodass a*x=b

4) für alle a,b,c,d Element K mit b,d ungleich 0 gilt (a/b)*(c/d)=(a*c)/(b*d)

Comments

Wo ist jetzt die Frage?

Den Beweis zu den Aufgaben findest du  in der passenden Literatur, im Internet und sogar in vielfacher Form in diesem Forum.

Zu der ersten Aufgabe ist noch fragwürdig wie man Körper vorher definiert hat, da die Existenz des neutralen Elementes der multiplikative Verküpfung eigentlich Bestandteil der gängigen Definitionen ist.

Answer 1

zu a,b Element K, a ungleich 0 gibt es genau ein x Element K, sodass a*x=b

Das kannst du z.B. so beweisen:

Seien a,b Element K, a ungleich 0 dann gibt

es jedenfalls a^-1 in K und weil zu je zwei Elemeten

von K auch deren Produkt in K ist, ist auch a^-1*b in K.

Außerdem gilt

a*(a^-1*b)      (wegen Assoziativität von *)

= (a*a^-1)*b

= 1*b

=b also ist   x= a^-1*b ein x, das die geforderte

Eigenschaft hat. Es gibt genau eines, denn wäre y ein weiteres,

dann würde gelten 

a*x=b      und    a*y=b  

also auch

a^-1 * (a*x)= a^-1 *b   und  a^-1 * (a*y)= a^-1 *b

wieder wegen assoz.

(a^-1 * a)*x= a^-1 *b   und  (a^-1 * a)*y= a^-1 *b

1*x= a^-1 *b   und  1*y= a^-1 *b

x= a^-1 *b   und  y= a^-1 *b

also x=y .