Kann mir jemand den Fixpunktsatz von Banach erklären?

Question

Hi,

ich komme mit dem Fixpunktsatz von Banach überhaupt nicht klar.

a) Zeigen Sie mit Hilfe des Satzes von Banach, dass für ϕ(x) = 1/(1+x²) ein Fixpunkt x∗ mit ϕ(x∗) = x∗ im Intervall [0, 1] existiert.

b) Geben Sie eine geeignete Iterationsvorschrift an.

Kann mir jemand in Worten erklären, wie ich vorzugehen habe? Ihr müsst mir nicht alles vorrechnen (vielleicht paar Ansätze). Dann rechne ich und teile euch meine (hoffentlich richtigen) Ausführungen mit.

Comments

Wo genau ist das Problem? Es gibt zwei Voraussetzungen, die für den Banachschen Fixpunktsatz gegeben sein muessen. Die wirst Du nachpruefen muessen.

Answer 1

Du musst nur zeigen, dass [0;1] zusammen mit der Betragsmetrik ein vollst. metr. Raum ist.

Und ϕ(x) = 1/(1+x²) eine Kontraktion, d.h. es gibt ein c aus [0;1[ so dass für alle a,b aus [0;1]

| ϕ(a) - ϕ(b) |  ≤ c * | a - b | ist  .

Dann findest du für jeden Startwert x0 den Fixpunkt durch die

Rekursion  ϕ(x_n+1) = ϕ(x_n)

z.B. für x0 = 0,1 gibt das die Folge

0,1  ;   0,990099 ;  0,504975  ; 0,7968   ; 0,6116  ;  0,7277 ;  0,6573 ;

0,7005 ;  0,67078   ;   0,68968  ;   .....

und das geht dann so allmählich gegen den Fixpu x= 0,682328.