Du hast \( p(t) := \frac{2000}{27}\cdot e^{-0,3t} \) mit der Produktregel abgeleitet.
Produktregel lautet \( p(t) = u(t)\cdot v(t) \implies p'(t) = u'(t)\cdot v(t) + u(t)\cdot v'(t)\).
In obigem Funktionsterm ist \( u(t) = \frac{2000}{27} \) und \( v(t) = e^{-0,3t} \). Dann ist \( u'(t) = 0 \) und \( v'(t) = e^{-0,3t}\cdot (-0,3) \).
Einsetzen in die Produktregel liefert \( p'(t) = 0\cdot e^{-0,3t} + \frac{2000}{27}\cdot e^{-0,3t}\cdot (-0,3) = \frac{2000}{27}e^{-0,3t}\cdot (-0,3) \).
Tipp: Du darfst \( p(t) = \frac{2000}{27}\cdot e^{-0,3t} \) mit der Faktorregel ableiten, weil \( u(t) \) eine konstante Funktion ist. Dann kommst du ohne Umwege zu \( p'(t) = \frac{2000}{27}e^{-0,3t}\cdot (-0,3) \). Das geht schneller und du hast weniger Möglichkeiten, Fehler zu machen.
Noch'n Tipp: Produktregel ist ein Biest. Versuche, sie zu vermeiden. Das geht natürlich nicht immer, du kannst aber die Verwendung auf das notwendige Maß reduzieren.
Es ist \( F(t) = c\cdot u(t) \cdot v(t) \) mit \( c=-52 \), \( u(t) = \frac{10}{3}t^2 + \frac{200}{9}t + \frac{2000}{27}\) und \( v(t) = e^{-0,3t} \). Deshalb ist \( F'(t) = c\cdot\left(u'(t)\cdot v(t) + u(t)\cdot v'(t)\right) \). Du brauchst also nur ein einziges mal die Produktregel anwenden.
Dadurch dass du \( F(t) \) zuerst ausmultipliziert hast, musstest du die Produktregel drei mal anwenden und hast am Ende sowieso wieder ausgeklammert.
Zur Notation: An deiner Rechnung sieht man, dass du verstanden hast, was du machen musst. Die Notation ist aber nicht korrekt.
Es sind zwei Funktionen \( F(t) \) und \( f(t) \) gegeben und du sollst zeigen, dass \( F(t) \) eine Stammfunktion von \( f(t) \) ist. Dann kannst du nicht einfach hingehen und sagen $$ \begin{aligned} f(t) & =\text{hier deine Rechnung}\\ & =\text{hier noch mehr Rechnung}\\ & \vdots \\&= \text{hier die Ableitung von } F(t)\end{aligned}$$ weil du ja gar nicht weißt, ob \( f(t) \) tatsächlich den Funktionsterm hat, den du rechts vom Gleichheitszeichen angegeben hast. Gehe stattdessen von Bekanntem aus, und forme so um, dass das entsteht, was du zeigen willst, nämlich \( F'(t) = f(t) \). Aufgeschrieben wird das demnach $$ \begin{aligned} F'(t) & =\text{hier deine Rechnung}\\ & =\text{hier noch mehr Rechnung}\\ & \vdots \\&= f(t)\end{aligned}$$
