Konvergenzradius von \(\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ { 2 }^{ \sqrt { n } } } { z }^{ n }\) bestimmen.

Question

Von der Potenzreihe \(\sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ { 2 }^{ \sqrt { n }  } } { z }^{ n }\) wurde der Konvergenzradius folgendermaßen bestimmt, aber ich verstehe die Musterlösung nicht: $$\sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ { 2 }^{ \sqrt { n }  } } { z }^{ n }\quad \quad |\frac { { a }_{ n } }{ { a }_{ n+1 } } |=|\frac { { 2 }^{ \sqrt { n }  } }{ { 2 }^{ \sqrt { n+1 }  } } |={ 2 }^{ \sqrt { n } -\sqrt { n+1 }  }\\ \longrightarrow \frac { (\sqrt { n }- \sqrt { n+1 } )(\sqrt { n }+ \sqrt { n+1 } ) }{ \sqrt { n } +\sqrt { n+1 }  } =\frac { -1 }{ \sqrt { n } +\sqrt { n+1 }  } \longrightarrow 0$$

Kann mir jemand erklären wie man auf die zweite Zeile kommt? Und wie könnte man es mit Cauchy-Hadamard berechnen? Ich hätte es so versucht: $$r= \frac { 1 }{ \sqrt [ n ]{ { 2 }^{ \sqrt { n }  } }  } =\frac { 1 }{ { 2 }^{ \frac { \sqrt { n }  }{ n }  } } =\frac { 1 }{ { 2 }^{ \frac { 1 }{ \sqrt { n }  }  } } =\frac { 1 }{ \sqrt [ \sqrt { n }  ]{ 2 }  } $$ aber da kommt bei mir für den Konvergenzradius \(∞\) raus. Was mache ich falsch?

Answer 1

In der zweiten Zeile wird nur noch der Exponent betrachtet.

Da es sich um eine Differenz von 2 sozusagen unendlich grossen Zahlen a und b handelt, nutzt man die 3. binomische Formel und erweitert mit der Summe (a+b).

Bei deiner Zeile r= ... hast du mE zu Beginn falsch gekürzt.

EDIT Nein. Das könnte auch stimmen. Bei dir geht der Nenner gegen 1. Und du bekommst r=1 raus, genau wie das bei der andern Lösung rauskommt.

Comments

Aber bei der Musterlösung kommt ja 0 raus dachte ich.

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Der Exponent geht gegen 0.

Dann weiterrechnen:

2^0 = 1.

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Ach so, ja tut mir leid, also habe ich bei meiner Lösung 1 raus.

Aber bei der Musterlösung kommt ja \(\frac { -1 }{ \sqrt { n } +\sqrt { n+1 }  } \longrightarrow 0\) raus, da ja \(\sqrt { n } +\sqrt { n+1 }\) gegen \(∞\) geht heißt dass doch, dass der Konvergenzradius gegen 0 geht laut der Musterlösung.

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Wie zu Beginn gesagt, wird in der 2. Zeile ja nur der Exponent betrachtet und der geht gegen 0.

Wenn du r berechnen willst, musst du dann noch 2^0 ausrechnen.

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Ach, jetzt habe ich es verstanden. Ich bin wegen der zweiten Zeile durcheinander gekommen. Vielen vielen Dank.

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Ja. So ist die Musterlösung zu lesen.