Vektoren Pyramide in R3

Question

Ich habe hier ein sehr interessantes Beispiel zum Thema Vektoren. Gegeben A(7/0/0), B(4/4/0), C(0/1/0), D(3/-3/0) und S(3,5/0,5/10) Diese Punkte bilden eine Pyramide.

a)Zeigedas das Dreieck BCS ein gleichschenkeliges Dreieck ist und berechne die Höhe h der Pyramide.

b) Bestimme eine Gleichung der Ebene ∈, die durch die Punkte B, C und S aufgespannt wird und ermittle den Winkel, den BCS mit der xy Ebene einschließt.

c) Berechne die Oberfläche der Pyramide ABCDS und erkläre die Schritte genau.

Ich habe zuerst mal die Vektoren ausgerechnet und deren Betrag gebildet, denn dann kommt man ja auf die Seiten. Ich habe zu Punkt a) folgende Überlegung; wenn ich den Vektor AC halbiere kommt man doch auf den Mittelpunkt der Grundfläche. Vielleicht kann man mit S einen und dem Mittelpunkt einen Vektor Bilden. Dann noch den Betrag, und ich denke die Höhe zu haben. Bin mir nicht sicher

Answer 1

Ich habe hier ein sehr interessantes Beispiel zum Thema Vektoren. Gegeben A(7/0/0), B(4/4/0), C(0/1/0), D(3/-3/0) und S(3,5/0,5/10) Diese Punkte bilden eine Pyramide.

a)Zeigedas das Dreieck BCS ein gleichschenkeliges Dreieck ist und berechne die Höhe h der Pyramide.

BC = [-4, -3, 0]

BS = [-0.5, -3.5, 10]

CS = [3.5, -0.5, 10]

BS und CS sind offensichtlich gleich lang. Sie höhe braucht man nicht berechnen sondern kann sie mit 10 an der z-Koordinate von S ablesen.

b) Bestimme eine Gleichung der Ebene ∈, die durch die Punkte B, C und S aufgespannt wird und ermittle den Winkel, den BCS mit der xy Ebene einschließt.

n = BC x BS = [-30, 40, 12.5] = -2.5 * [12, -16, -5]

X * n = B * n

12x - 16y - 5z = -16

c) Berechne die Oberfläche der Pyramide ABCDS und erkläre die Schritte genau.

Berechne jetzt jede Seitenfläche notfalls für sich.

Fläche BCS = 1/2 * | BC x BS | = 25/4·√17

https://www.matheretter.de/geoservant/de?draw=viereck(7%7C0%7C0%204%7C4%7C0%200%7C1%7C0%203%7C-3%7C0)%0Adreieck(7%7C0%7C0%204%7C4%7C0%203.5%7C0.5%7C10)%0Adreieck(4%7C4%7C0%200%7C1%7C0%203.5%7C0.5%7C10)%0Adreieck(0%7C1%7C0%203%7C-3%7C0%203.5%7C0.5%7C10)%0Adreieck(3%7C-3%7C0%207%7C0%7C0%203.5%7C0.5%7C10)

Comments

Wieso erkennt man ohne Rechnung mit dem z Wert die Höhe?

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Weil alle anderen Punkte sich in der Ebene z = 0 befinden. Damit ist die z-Achse senkrecht zur Grundfläche.

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Ah, stimmt, bei Vektoren im Raum sind x und y in der Ebene und z nicht. Ich vergesse das dauernd

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Ein Klick auf obigen Link hätte genügt sich das ganze mal Live, 3D und in Farbe anzusehen :)

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Auf meiner (nicht ganz neuen Maschine) werden die Bilder von geoknecht weder in Safari noch in Chrome angezeigt. Mit Firefox sehe ich hingegen eine quadratische Pyramide.

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Also die Höhe sollte dann 10 sein? Was würde ich denn tun, wenn die z Werte unterschiedlich wären! Muss ich dann den Notmalvektor bilden?

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Richtig. Dann müsstest du den Normalenvektor bilden.