Textaufgabe: Pyramide mit Vektoren

Question

Eine Pyramide hat eine Höhe von 8 Metern und eine quadratische Grundfläche mit Seitenlängen von ca 45 Metern.

Wählen Sie ein geeingntes Koordinatensystem und berechnen sie Den Neigungswinkel einer Kante zur Diagonalen am Boden.

Berechnen Sie wie viel Erde in m^3 notwednig war m die Pyramide aufzuschütten

Answer 1

Setzen wir mal voraus, dass es sich um eine gerade Pyramide handelt. Dann geht das auch mit elementarer Geometrie:

Der gesuchte Winkel sei α. Die Kante von der Pyramidenspitze zur Quadratecke sei c. Dann gilt (45/√2)²+8²=c². Und mit c findet man cos(α) = 45/(√2·c).

Answer 2

Wenn man schon die Vektorgeometrie in der Schule hat, dann sollte man das auch damit ausrechnen, auch wenn es etwas mühsamer ist. Denn es geht darum die Mittel der Vektorgeometrie zu üben. Man kann es zusätzlich aber auch mit der elementaren Geometrie als Vergleich rechnen, ob man es richtig hat.

Wähle ABCD als Grundfläche und S als Spitze mit

A = [0, 0, 0] ; B = [45, 0, 0] ; C = [45, 45, 0] ; D = [0, 45, 0] ; S = [22.5, 22.5, 8]

Berechne den Winkel zwischen Vektor AC und AS

α = ACOS([45, 45, 0]·[22.5, 22.5, 8]/(ABS([45, 45, 0])·ABS([22.5, 22.5, 8]))) = 14.11°

Berechne das Volumen mit dem Spatprodukt der Vektoren AB, AD und AS

V = 1/3·([45, 0, 0] ⨯ [0, 45, 0])·[22.5, 22.5, 8] = 5400 m^2

Comments

wie hast du diesen Schritt berechnet ?  Berechne den Winkel zwischen Vektor AC und AS
 und weiter ? Was bedeutet ACOS ?

---

ACOS ist der arccos oder cos^{-1}, also die Umkehrfunktion vom Kosinus.

Für die Richtungsvektoren gilt:

AC = C

AS = S

Winkel zwischen zwei Vektoren ist der ACOS vom Quotienten aus dem Skalarprodukt der beiden Vektoren und dem Produkt ihrer Vektorlängen.