Vektoren - Pyramide mit Ecken in den Punkten A ( 1 | 1 | 0 ) , B ( 2 | -4 | 5 ) , C ( -2 | 1 | 4 ) , und D ( 3 | 1 | 2 )

Question

Folgende Aufgabe: Die Punkte A ( 1 | 1 | 0 ) , B ( 2 | -4 | 5 ) , C ( -2 | 1 | 4 ) , und D ( 3 | 1 | 2 ) sind die Ecken einer dreiseitigen Pyramide mit der dreieckigen Grundfläche ABC und der Spitze D. Die Pyramide liegt schief im Raum.

a) Unter welchem Winkel trifft die Seite BD auf die Grundfläche ABC?

b) Unter welchem Winkel trifft die Seitenfläche ABD auf die Grundfläche ABC?

c) Berechnen Sie die Höhe h der Grundfläche und den Flächeninhalt.

d) Berechnen Sie die Höhe H der Pyramide und das Volumen.

Ich habe einfach keinen blassen Schimmer, wie das geht! Kann mir das bitte jemand vorrechnen? Wir müssen uns diese Aufgaben selbst erarbeiten und ich stehe seit 2 Tagen auf dem Schlauch...

Comments

Lies dir als Erstes mal die Antworten zu den "ähnlichen Fragen" durch. Dann kannst du sicher zumindest einen Teil mal probieren. 

Answer 1

a) Unter welchem Winkel trifft die Seite BD auf die Grundfläche ABC?

Welchen Richtungsvektor hat die Gerade durch B und D ?

Welchen Normalenvektor hat die Ebene durch A, B und C

Welchen Winkel bilden Richtungsvektor und Normalenvektor. Welcher Winkel folgt daraus für die Seite BD und die Grundfläche ABC?

Bei der Winkelbestimmung rechnen wir bei Geraden immer mit dem Richtungsvektor und bei Ebenen immer mit dem Normalenvektor.

Answer 2

Folgende Aufgabe: Die Punkte A ( 1 | 1 | 0 ) , B ( 2 | -4 | 5 ) , C ( -2 | 1 | 4 ) , und D ( 3 | 1 | 2 ) sind die Ecken einer dreiseitigen Pyramide mit der dreieckigen Grundfläche ABC und der Spitze D. Die Pyramide liegt schief im Raum.

a) Unter welchem Winkel trifft die Seite BD auf die Grundfläche ABC?

Richtungsvektor BD = D - B = ( 1 | 5 | -3 )

Grundfläche ABC liegt in der Ebene ABC, diese hat die Gleichung

20x1 + 19x2 + 15x3 = 39

also Normalenvektor ( 20 | 19 | 15 )

also Winkel zwischen Richt.vekt. und Normalenvekt

cos(alpha) = ( ( 1 | 5 | -3 )* ( 20 | 19 | 15 )) / Produkt der Längen = 70 / wurzel(34510)

ist ungefähr 0,3768   also alpha=67,9° und damit der gesuchte Winkel 22,1°.

b) Unter welchem Winkel trifft die Seitenfläche ABD auf die Grundfläche ABC?

Ebenengleichung der Seitenfläche ABD ist 5x1 - 4x2 -5 x3 = 1 also

Normalenvektor (5 | -4 | -5 ) .

Winkel zwischen den Normalenvektoren ist der gesuchte Winkel.

c) Berechnen Sie die Höhe h der Grundfläche und den Flächeninhalt.

Flächeninhalt bekommst du auch über 0,5* Betrag des Vektorproduktes

von AB und AC.

d) Berechnen Sie die Höhe H der Pyramide und das Volumen.

Höhe ist der Abstand von D zur Ebene ABC. Bekommst du z.B. mit der

HESSE-Normalenform.